2018杨浦高三二模数学.doc

上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷
2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 函数的零点是
2. 计算：
3. 若的二项展开式中项的系数是，则
4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为
5. 若、满足，则目标函数的最大值为
6. 若复数满足，则的最大值是
7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形，
则该圆锥的体积是
8. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则
9. 若，则的值为
10. 若为等比数列，，且，则的最小值为
11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，.
若为钝角，，则的面积为
12. 已知非零向量、不共线，设，定义点集
. 若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
14. 设A、B是非空集合，定义：且.
已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
15. 已知，，则“”是“直线与
平行”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
16. 已知长方体的表面积为，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大
值为（ ）
A. B. C. D.

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，
据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x满足函数关系
式.
（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；
（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？

18. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱AB上的动点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.

19. 已知数列，其前项和为，满足，，其中，，
，.
（1）若，，（），求数列的前项和；
（2）若，且，求证：数列是等差数列.

20. 已知椭圆，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两
个交点A、B，线段AB的中点为M.
（1）若，点K在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）若过点，射线OM与交于点P，四边形能否为平行四边形？
若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．

21. 记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满
足且的x恒成立，则称为函数.
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明：是函数；
（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.

上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷
2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 函数的零点是
【解析】
2. 计算：
【解析】
3. 若的二项展开式中项的系数是，则
【解析】
4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为
【解析】
5. 若、满足，则目标函数的最大值为
【解析】三个交点为、、，所以最大值为3
6. 若复数满足，则的最大值是
【解析】结合几何意义，单位圆上的点到的距离，最大值为2
7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形，
则该圆锥的体积是
【解析】
8. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则
【解析】
9. 若，则的值为
【解析】，，
10. 若为等比数列，，且，则的最小值为
【解析】
11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，.
若为钝角，，则的面积为
【解析】，，，，
，，，
12. 已知非零向量、不共线，设，定义点集
. 若对于任意的，当，且不在直线上时，
不等式恒成立，则实数的最小值为
【解析】建系，不妨设，，∴，，，
∴，设，∴，即，点在此圆内，
∴，

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】，，，选C
14. 设A、B是非空集合，定义：且.
已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，，选A
15. 已知，，则“”是“直线与
平行”的（ ）条件
A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
【解析】推出直线平行或重合，选B
16. 已知长方体的表面积为，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大
值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设三条棱，∴，，，
，整理得，∴，
∴最短棱长为1，体对角线长为，，选D

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，
据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x满足函数关系
式.
（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；
（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？
【解析】（1）要使营运累计收入高于800元，令， ……2分
解得. ………………………………………5分
所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .………………………………7分
（2） …………………………………9分
当且仅当时等号成立，解得 …………………………12分
所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分

18. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱AB上的动点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.
【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，，，
C(0,1,0) ，D1(0,1,2) ，A1(1,0,1)，设
（1）证明：，………2分
………4分
所以DA1⊥ED1. ……………6分
另解：，所以. ……………2分
又，所以. ……………………………4分
所以 ……………………………6分
（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系…………7分
所以、、、，设，则 ………8分
设平面CED1的法向量为，由可得，
所以，因此平面CED1的一个法向量为 ………10分
由直线与平面所成的角是45，可得 ……11分
可得，解得 ………13分
由于AB=1，所以直线与平面所成的角是45时，点在线段AB中点处. …14分

19. 已知数列，其前项和为，满足，，其中，，

（1）若，，（），求数列的前项和；
（2）若，且，求证：数列是等差数列.
【解析】（1），所以.两式相减得.
即 ………2分
所以，即， ………3分
又，所以，得 ………4分
因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为 …7分
（2）当n = 2时，，
所以. 又，可以解得， ………9分
所以，，两式相减得
即. 猜想，下面用数学归纳法证明： ………10分
① 当n = 1或2时，，，猜想成立；
② 假设当时， 成立
则当时，猜想成立.
由①、②可知，对任意正整数n，. ………13分
所以为常数，所以数列是等差数列. ………14分
另解：若，由，得，
又，解得． ………9分
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，由，得，
两式相减得：，即
所以 ………11分
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，即数列是等差数列.………14分

20. 已知椭圆，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两
个交点A、B，线段AB的中点为M.
（1）若，点K在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）若过点，射线OM与交于点P，四边形能否为平行四边形？
若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．
【解析】（1）椭圆，两个焦点、，设
所以
由于，所以， …3分
由椭圆性质可知，所以 ……………5分
（2）设直线（），，，，
所以为方程的两根，化简得，
所以，. ……………8分
，所以直线的斜率与的斜率的乘积等于为定值. …………10分
（3）∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，．
设 设直线（），即.
由（2）的结论可知，代入椭圆方程得…12分
由（2）的过程得中点， ……………14分
若四边形为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，
得，解得
所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形． ……………16分

21. 记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满
足且的x恒成立，则称为函数.
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明：是函数；
（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.
【解析1）是函数 . ……1分
理由如下：的定义域为，
只需证明存在实数，使得对任意恒成立.
由，得，即.
所以对任意恒成立. 即
从而存在，使对任意恒成立.
所以是函数. …………4分
（2）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，
恒成立，即恒成立.
所以， ……5分
化简得，.
所以,. 因为，可得，,
即存在实数，满足条件，从而是函数. …………10分
（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，
所以 （1）， ……………12分
又因为 （2），
所以当时，
由（1）
由（2） （3）
所以
（取由（3）得）
再利用（3）式，.
所以为周期函数，其一个周期为. ……………15分
当时，即，又，
所以为常数. 所以函数为常数函数，
，是一个周期函数. ……………17分
综上，函数为周期函数 ……………18分

（其他解法参考评分标准，酌情给分）

10