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数列求通项与求和方法总结

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12

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数列通项公式的十种求法

一、公式法
例1 已知数列满足,，求数列的通项公式。
解:两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解:由得则

所以数列的通项公式为.
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足,求数列的通项公式.
解：由得则

所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解:两边除以，得,
则,故

因此，
则
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式.
三、累乘法
例5 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:因为,所以,则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例6 （2004年全国I第15题,原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由，，则,又知,则，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出,从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式.
四、待定系数法
例7 已知数列满足,求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得,等式两边消去，得,两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项,以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
例8 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得

整理得。
令，则，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式.
例9 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设 ⑧
将代入⑧式，得
，则

等式两边消去，得，
解方程组,则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式,得
则，故数列为以为首项,以2为公比的等比数列，因此，则。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以.在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
,故
代入式，得
由及式,
得,
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则.
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列满足,求数列的通项公式.
解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为.
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式.即先将等式两边取常用对数得，即,再由累乘法可推知，从而。
七、数学归纳法
例12 已知数列满足求数列的通项公式。
解：由及,得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论.
(1）当时，，所以等式成立.
（2）假设当时等式成立,即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。
根据(1）,（2)可知，等式对任何都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13 已知数列满足，求数列的通项公式.
解:令，则
故，代入得

即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
九、不动点法
例14 已知数列满足，求数列的通项公式。
解:令，得，则是函数的两个不动点。因为
.所以数列是以为首项,以为公比的等比数列，故，则。
评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出,从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式.
例15 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的不动点.
因为，所以
.
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

专题讲座—-数列求和的基本方法和技巧

★数列在高考中的要求：
1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列,其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列,或利用等差、等比数列的研究方法.所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。
2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数的函数;理解通项公式的作用—-可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究.
3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等,是高考的热点.要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练.
4．数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强。数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法.
5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。
6．纵观近几年的高考,每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现,难度不大.
7．数列的应用极其广泛,因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。
8．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。

一、利用常用求和公式求和

1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、

[例1］ 已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求.
解：当x=1时，
当x≠1时，为等比数列，公比为x
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝

【巩固练习】1：已知数列的通项公式为,为的前n项和，
（1）求； （2）求的前20项和。
解：

二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·　bn｝的前n项和，其中｛ an }、｛ bn ｝分别是等差数列和等比数列.
[例2］ 求和:………（）
解: 当x=1时,
当x≠1时， ………………。 ①
①式两边同乘以x得 ………② （设制错位）
①－②得 （错位相减)
再利用等比数列的求和公式得：
∴

【巩固练习】2：求数列前n项的和。
解:由题可知，｛｝的通项是等差数列{2n｝的通项与等比数列｛}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得 （错位相减）

∴
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例3］ 求证：
证明： 设…………………………。。 ①
把①式右边倒转过来得
（反序)
又由可得
…………..……。。 ②
①+②得 (反序相加）
∴
【巩固练习】3：求的值
解：设…………。 ①
将①式右边反序得
…………。.② （反序）
又因为
①+②得 （反序相加）
＝89
∴ S＝44。5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和,再将其合并即可。形如：的形式,其中{ an }、｛ bn }是等差数列、等比数列或常见的数列.
［例4］ 求数列的前n项和:，…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝ (分组求和)
当时，＝
【巩固练习】4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和。
解:设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组）
＝
＝ （分组求和)
＝

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）如：
（1) （2)
（3） （4）
（5）
（6)
(7）
（8）=－ （9）
[例5] 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和)
＝
＝
【巩固练习】5：①在数列｛an}中，，又，求数列｛bn｝的前n项的和.
解: 　 ∵
　 ∴ （裂项）
∴ 数列｛bn}的前n项和
(裂项求和）
＝ ＝
②求证：
解:设
∵ (裂项）
∴ （裂项求和)
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
③求和:
六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
［例6] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ （找特殊性质项)
∴Sn＝ (cos1°+ cos179°）+( cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° (合并求和）
＝ 0
【巩固练习】6:在各项均为正数的等比数列中，若的值。
解：设
由等比数列的性质 （找特殊性质项)
和对数的运算性质 得
（合并求和）
＝
＝ ＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例7］ 求之和。
解：由于 (找通项及特征)
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
【巩固练习】7： 已知数列{an}：的值。
解：∵ （找通项及特征)
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）