江苏省常州市第一中学—学第一学期高三考—数学.doc

常州市第一中学2007—2008学年度高三年级第一次月考
数 学 试 卷
一、选择题：
1、已知，那么= （ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知：，则是的 （ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3、关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是： （ ）
A、①② B、③④ C、①④ D、②③
4、设是第二象限角,且,则的值是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、若，则的取值范围是 （ ）
A、[1,5]　　 　B、　 　 C、　　　 D、
6、若函数f (x)满足，且则函数y=f(x)的图象与函数的图象的交点的个数为 （ ）
A、 3 B、 4 C、 6 D、 8
7、若四面体的六条棱中有五条长为，则该四面体体积的最大值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则 （ ）
A. B. C. D.
9、菱形ABCD的边长为，H分别在AB、BC、CD、DA上，且，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为
A、 B、 C、 D、 （ ）
10、已知定义在R上的奇函数为偶函数，对于函数有下列几种描述，
（1）是周期函数 （2）是它的一条对称轴
（3）是它图象的一个对称中心 （4当时，它一定取最大值
其中描述正确的是 （ ）
A、（1）（2） B、（1）（3） C、（2）（4） D、（2）（3）
二、填空题：
11、若函数的定义域为，则函数的定义域为 ] ；
12、的值域为 ；
13、y=f(x)是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1,，则= ；
14、已知方程的两根为，且，则的取值范围是 ；
15、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB= 且△ABC的面积为，则= .
16、若对终边不在坐标轴上的任意角，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ；
三、解答题：
17、已知函数，．
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18、已知函数。
（1）当时，求的最大值和最小值。
（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围。
19、已知命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题只有一个实数满足不等式，若命题是假命题，命题是真命题，求的取值范围。
20、设的定义域为，且满足，，有，当时，。
（1）求的值；
（2）证明在上是增函数；
（3）解不等式。
21、在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；（2）若为中点，求证：平面
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；（4）求点C到平面PDE的距离
22、设函数，当点是函数的图象上的点时，点是函数的图象上的点。
（1）求出函数的解析式；
（2）若当时，恒有，试确定的取值范围。
理科学生做（选择填空题每题4分）
1. 矩阵的逆矩阵是 ( )
A． B． C． 　 D．
2. 表示x轴的反射变换的矩阵是( )
A. 　 B. C. D.
3. 极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
4. 若曲线在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为______。
5. 点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
6. 已知圆C的参数方程为（为参数），P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是 　 .
7. （本题6分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值。
8. （本题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量用表示，狐狸数量用表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有只，狐狸数量有只。请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型（、的关系式）； （2）求出、关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。
常州市第一中学2007—2008学年度高三年级第一次月考
数学试卷
一、选择题：
1、已知，那么= （ C ）
A、 B、 C、 D、
2、已知：，则是的 （ A ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3、关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是： （ D ）
A、①② B、③④ C、①④ D、②③
4、设是第二象限角,且,则的值是 （ C ）
A、 B、 C、 D、
5、若，则的取值范围是 （ B ）
A、[1,5]　　 　B、　 　 C、　　　 D、
6、若函数f (x)满足，且则函数y=f(x)的图象与函数的图象的交点的个数为 （ B ）
A、 3 B、 4 C、 6 D、 8
7、若四面体的六条棱中有五条长为，则该四面体体积的最大值为 （ A ）
A、 B、 C、 D、
8、已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则 （ A ）
A. B. C. D.
9、菱形ABCD的边长为，H分别在AB、BC、CD、DA上，且，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为
A、 B、 C、 D、 （ A ）
10、已知定义在R上的奇函数为偶函数，对于函数有下列几种描述，
（1）是周期函数 （2）是它的一条对称轴
（3）是它图象的一个对称中心 4）当时，它一定取最大值
其中描述正确的是 （ B ）
A、（1）（2） B、（1）（3） C、（2）（4） D、（2）（3）
二、填空题：
11、若函数的定义域为，则函数的定义域为 [1,5] ；
12、的值域为 ；
13、y=f(x)是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1,，则= -1 ；
14、已知方程的两根为，且，则的取值范围是 ；
15、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB= 且△ABC的面积为则= 2 .
16、若对终边不在坐标轴上的任意角，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ；
三、解答题：
17、已知函数，．
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）．
又，，即，．
（2），，且，
，即的取值范围是．
18、已知函数。
（1）当时，求的最大值和最小值。
（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围。
解：（1）时，。由，当时，有最小值为，当时，有最大值为。
（2）的图象的对称轴为，由于在上是单调函数，所以或，即或，所求的取值范围是
19、已知命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题只有一个实数满足不等式，若命题是假命题，命题是真命题，求的取值范围。
解：（1）和是的两根，所以
又，则有。因为不等式对任意实数恒成立，所以，所以
由题意有
由命题“或”是假命题，命题“且”是假命题，有假假，所以。
20、设的定义域为，且满足，，有，当时，。（1）求的值；（2）证明在上是增函数；（3）解不等式。
解：（1）令，则
（2）且时，，因为，又当时，，所以，所以在上单调增。
（3）令，则；令，则
所以，所以
21、在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
1）求证：PA⊥平面ABCDE；（2）若为中点，求证：平面
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；（4）求点C到平面PDE的距离
解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a,∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE． ∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE． 3分
（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE 6分
（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG， ∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角． 8分
在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴二面角A-PD-E的正弦值为． 10分
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离． 13分
在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE， ∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．
（或用等体积法求）
22、设函数，当点是函数的图象上的点时，点是函数的图象上的点。
（1）求出函数的解析式；
（2）若当时，恒有，试确定的取值范围。
解： （1）设，则，又，则，所以。
（2），定义域为，又则有，所以
，令
在区间上单调增，

理科学生做（选择填空题每题4分）
9. 矩阵的逆矩阵是 ( )
A． B． C． 　 D．
10. 表示x轴的反射变换的矩阵是( )
A. 　 B. C. D.
11. 极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
12. 若曲线在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为______。
13. 点是椭圆上的一个动点，则的最大值为______
14. 已知圆C的参数方程为（为参数），P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是 　 .
15. （本题6分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值。
16. （本题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量用表示，狐狸数量用表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有只，狐狸数量有只。请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型（、的关系式）； （2）求出、关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。
参考答案：
1、A ；2、D；3、C；4、2；5、；6、 或 ；
7、解：设直线为，（1分）
代入曲线并整理得 （2分）
则 （4分）
所以当时，即，的最小值为，此时。（6分）
8、解：⑴……………………2
⑵设，
∴=……=
又矩阵M的特征多项式 =
令得：……………………4’
特征值对应的一个特征向量为
特征值对应的一个特征向量为……………………6’
且
∴=
∴………………………………8
⑶当n越来越大时，越来越接近于0，,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……10