安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学理试题(全WORD版).doc

合肥市2019届高三第二次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若集合，，则
A. B. C.(-1，1) D.(-1，2)
3．已知双曲线()的一条渐近线方程为，且经过点(，4)，则双曲线的方程是
A. B. C. D.
4.在中，则
A. B. C. D.
5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入占比
90.10%
4.98%
3.82%
1.10%
净利润占比
95.80%
-0.48%
3.82%
0.86%
则下列判断中不正确的是
A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
6.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是
A.函数的图象关于点对称 B.函数的周期是
C.函数在上单调递增 D.函数在上最大值是1
7.已知椭圆()的左右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是
A. B. C. D.
8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务，任务、任务不能相邻，则不同的执行方案共有
A.36种        B44种       C.48种        D.54种
9.函数的图象大致为

10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
11.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为
A.7 B.8 C.9 D.10
12.函数在(0，1)内有两个零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.设等差数列的前项和为，若，， 则数列的公差__________.
14.若，则_____________.
15.若，则的最小值为_________.
16.已知半径为4的球面上有两点，，球心为，若球面上的动点满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为____________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
在中，角所对的边分别为，，的面积.
(Ⅰ)求角；
(Ⅱ)求周长的取值范围.

18.(本小题满分12分)
如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若，求直线与平面所成角的正弦值.

19.(本小题满分12分)
某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；
方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(Ⅰ)求的分布列；
(Ⅱ)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

20.(本小题满分12分)
已知抛物线()上一点(，9)到其焦点的距离为.
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)设过焦点的直线与抛物线交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交轴于两点，求的取值范围.

21.(本小题满分12分)
已知函数()是减函数.
(Ⅰ)试确定的值；
(Ⅱ)已知数列，，()，求证：.

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).在以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线和的直角坐标方程；
(Ⅱ)若分别为曲线，上的动点，求的最大值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知.
(Ⅰ)求的解集；
(Ⅱ)若恒成立，求实数的最大值.

合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C

B
B
C
D
B
A
C
D
D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2 14. 15. 16.

三、解答题：
17.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)由可知，
∴. 由正弦定理得.
由余弦定理得，∴. …………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴，.
的周长为

∵，∴，∴，
∴的周长的取值范围为. ……………………………12分

18.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)取的中点为，连结.
由是三棱台得，平面∥平面，从而.
∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，
∴，∴.
∵平面平面，且交线为，平面，
∴⊥平面，而平面，
∴. ………………………5分
(Ⅱ)连结.
由是正三角形，且为中点得，.
由(Ⅰ)知，⊥平面，，
∴，
∴两两垂直.
以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则()，()，(1，0，0)，(-1，，0)，
∴，，.
设平面的一个法向量为.
由可得，.
令，则，∴.
设与平面所成角为，则.
……………………………12分

19.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.
，，，
，，
，，
∴的分布列为

0
1
2
3
4
5
6

…………………………5分
(Ⅱ)选择延保方案一，所需费用元的分布列为：

7000
9000
11000
13000
15000
P

(元).
选择延保方案二，所需费用元的分布列为：

10000
11000
12000
P

(元).
∵，∴该医院选择延保方案二较合算. …………………………12分

20本小题满分12分)
解：(Ⅰ)已知()到焦点的距离为，则点到其准线的距离为10.
∵抛物线的准线为，∴，
解得，，∴抛物线的方程为. …………………………5分
(Ⅱ)由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为(0，1)，则.
设()，(，)，由消去得，，
∴，.
由于抛物线也是函数的图象，且，则.
令，解得 ，∴，从而.
同理可得，，
∴.
∵，∴的取值范围为. ……………………………12分

21.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)的定义域为，.
由是减函数得，对任意的，都有恒成立.
设.
∵，由知，，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在时取得最大值.
又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为.
∴，解得. ……………………………5分
(Ⅱ)由是减函数，且可得，当时，，
∴，即.
两边同除以得，，即.
从而，
所以①.
下面证：
记，.
∴，
∵在上单调递增，
∴在上单调递减，而，
∴当时，恒成立，
∴在上单调递减，即，，
∴当时，.
∵，
∴当时，，即②.
综上①②可得，. ……………………………12分

22.(本小题满分10分)
解：(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为，即.…………………………5分
(Ⅱ)设点的坐标为().

当时，=. …………………………10分

23.(本小题满分10分)
解：(Ⅰ)由得，
所以，解得，
所以，的解集为. …………………………5分
(Ⅱ)恒成立，即恒成立.
当时，；
当时，.
因为(当且仅当，即时等号成立)，
所以，即的最大值是. …………………………10分