化归思想专题-教师.doc

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高中数学备课组
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主课题：转化与化归思想专题
教学目标：培养学生“以形助数”，“以数入微”的解题思想
教学重点：1.培养学生熟悉“转化与化归的原则”
2. 掌握常见的转化与化归方法
教学难点： 培养学生找寻等价条件，将复杂陌生问题转化为已掌握熟悉数学模型的能力

考点及考试要求：掌握未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化

教学内容
【知识精要】
常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：

(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．

(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．
(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．

【精解名题】
1. 函数、方程与不等式之间的转化

例1已知二次函数f（x）=ax2+2x－2a－1，其中x=2sinθ（0<θ≤）．若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围．

【解析】 由题意可知二次方程ax2+2x－2a－1=0在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图1所示），得等价不等式组：

Δ=4+4a（2a+1）>0，
－1<<2，
af（－1）=a（－a－3）≥0，
af（2）=a（2a+3）≥0．
解得实数a的取值范围为［-3，］． 图1

例2已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数，
(1)求k的值； (2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．
解　(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴log4(4－x＋1)－2kx＝log4(4x＋1)＋2kx，
∴log4＝4kx，∴log4＝4kx，
∴－x＝4kx，(4k＋1)x＝0恒成立，∴k＝－.
(2)由(1)知f(x)＝log4(4x＋1)－x是偶函数．
∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)≥f(0)＝log42＝.
∴f(x)的值域为[，＋∞)，
若方程f(x)＝m有解，则m∈[，＋∞)，
∴m的取值范围为[，＋∞)．

例3已知关于x的不等式
（1） 若不等式的解集为，求实数k的值
（2） 若不等式的解集为的子集，求k的取值范围
（3） 若不等式对一切都成立，求k的取值范围
解：（1） （2） （3）

2 空间与平面的转化
例4 如图2所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P－ABC．
（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示．求证：侧棱PB⊥AC；

图2
（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角的余弦值；
（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示．已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积．
【解析】（1）在平面图中P1A⊥P1B，P2B⊥P2C．故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，
∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC．
（2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD．由三垂线定理得BD⊥AC，
∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，
得AE=P1P2=4．
设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3==，∴EP3=2．
故CP3=，P2P3=，由AC·DP3=CP3·AEDP3=，又BP3==6，∴BD=．在△PDB中，cos∠PDB=，
∴侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值为．
（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点．
由此得：AB=BC，AC=a．在三棱锥中，取AC中点D．连PD、BDAC⊥PD，AC⊥BD，故AC⊥平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，∴S△PDB=ad，∴V=a2d．

例5 如图，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，OA=2，∠AOP=120°
（1） 求异面直线与AP所成的角（用反三角函数表示）
（2） 求点A到平面的距离
解（1） （2）

例6 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（　D　）
A、 直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线

3变量与常量的转化
例7 对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．

【解析】设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是．
例8已知方程 （其中为负整数），试求使此方程的解至少有一个为整数时的值
解：对换原方程中和的地位，把视为主元，用来表示，得，要使为负整数，必须（即 的允许值为2，3，4，5，6，7。求出合题意的的值-10，-4，这样就使讨论简化。

例9 例3 设a,b是两个实数,A=｛(x,y) ∣x=n,y=na+b,n ∈ z}, B={(x,y)∣x=m,y=3m2+15,m ∈z,} C={(x,y)∣x2+y2≤144}是否存在a,b使得 (1)A∩B≠ (2) (a,b) ∈ C同时成立.
解：当然对于式子3x2+15=ax+b即ax+b－（3x2+15）＝0（若我们视a,b为变量,x为常量）则式子ax+b－（3x2+15）＝0可看作以a,b为变量的直线方程。又因为(a,b) ∈ C即a2+b2≦144也可看作以a,b为变量的圆及圆内的点。研究一下此直线与圆的位置关系圆心到直线的距离d==3(+)≥12(但当且仅当＝即x＝±时取等号而xz但±z. 所以a,b不存在.

4. 数与形的转化
例10 讨论方程的实数解的个数.
解：（1），无解 （2），一解
（3），两解 （4）=1，三解
（5），四解 （6）=，三解
（7），两解

例11已知a∈R，求函数y＝(a－sin x)(a－cos x)的最小值．
解　函数可化为y＝sin x·cos x－a(sin x＋cos x)＋a2.
设t＝sin x＋cos x，
则t＝ sin，故t∈[－ ， ]．
而sin x·cos x＝[(sin x＋cos x)2－1]＝(t2－1)，
于是，y＝f(t)＝a2－at＋(t2－1)＝t2－at＋a2－＝(t－a)2＋a2－.
原问题化归为求二次函数f(t)＝(t－a)2＋a2－在t∈[－ ，]上的最值问题．
(1)当－ ≤a≤ 时，若t＝a，f(t)min＝a2－；
(2)当a＞ 时，f(t)在[－ ， ]上单调递减，f(t)min＝f( )＝a2－ a＋；
(3)当a＜－ 时，f(x)在[－ ， ]上单调递增．f(t)min＝f(－ )＝a2＋ a＋.

例12从双曲线的左焦点F引圆的切线,切点为T，且 交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，求|OM|-|TM|的值

5. 正与反的转化
例13已知三条抛物线：y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围．
解　令y＝0，由，解得－范围(R－表示负实数集，R＋表示正实数集)．
解　设全集U＝{m|Δ＝16m2－8m－24≥0}
＝.
方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负的充要条件是可得m≥.
∴A∩R－＝∅时，
实数m的取值范围为.
∴A∩R－≠∅时，
实数m的取值范围为{m|m≤－1}．

例15给定实数，且，设函数（其中R且），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于轴．

【证明】设、是函数图象上任意两个不同的点，则．假设直线平行于轴，则必有，即，整理得．
由，得，这与已知条件“”矛盾，因此假设不成立，即直线不平行于轴．

例16 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有

6. 抽象与具体的转化
例17 设定于在实数集上，当时，，且对于任意实数都有，同时，解不等式.

【解析】由中取得，若，则令，则与时，矛盾.所以.
当时，，当时，，，而所以又因，所以，设且
则，
所以在上为单调增函数.又因，所以.由得单调性可得，解得.

例18已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>f(0)对所有的θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．

解　因为f(x)在R上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，
故f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.
由题设条件可得，f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0.
又由f(x)为奇函数，可得f(cos 2θ－3)>f(2mcos θ－4m)．
∵f(x)在R上为增函数，∴cos 2θ－3>2mcos θ－4m，
即cos2θ－mcos θ＋2m－2>0.
令cos θ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.
于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．
∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．
又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，
∴m>4－2， ∴存在实数m满足题设的条件，m>4－2.

例19已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.

解 （1） 因为是R上的奇函数，所以
从而有 又由，解得
（2）由（1）知
由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式

等价于
因是R上的减函数，由上式推得
即对一切从而

规律方法总结
在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．
(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．
(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.

【巩固练习】
1、已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线所夹的锐角在(0,)内变动时a的取值范围是( C )
A．（0，1） B．（，） C．（，1）∪（1，） D．（1，）
2、已知等差数列｛｝的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ A ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
3、若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ A ）
A.2∈M，0∈M； B.2M，0M； C.2∈M，0M； D.2M，0∈M．
4、在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则（ C ）
A． B． C． D．
5、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则( B )
A． B． C． D．
6、若，则点的轨迹是( C )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7、若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间上有两个不同的解，则实数a的取值范围是 a=或＜a≤1 .

8、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，
P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是____.

9. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆
上，则_____．
10. (a＋b＋c)展开式的项数是___66__
11. 已知复数，求的最大值和最小值
解：=
的最大值为，最小值为

12．已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数）
(1)当t=–1时，解不等式f(x)≤g(x);
(2)如果x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围

解 (1)原不等式等价于
即 ∴x≥∴原不等式的解集为{x|x≥}

(2)x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立
∴x∈［0,1］时恒成立 即恒成立
即x∈［0,1］时，t≥–2x+恒成立，
于是转化为求–2x+,x∈［0,1］的最大值问题
令μ=,则x=μ2–1,则μ∈［1,］ ∴2x+=–2(μ–)2+
当μ=1即x=0时，–2x+有最大值1∴t的取值范围是t≥1

13. 设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.
解：（1）依题意得，即.
当n≥2时，a;
当n=1时，×-2×1-1-6×1-5
所以.
（2）由（1）得，
故=.
因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10.
14. 已知向量，向量与向量夹角为，且，
(1)求向量；
(2)若向量与向量的夹角为，向量，其中
为的内角，且依次成等差数列，试求的取值范围。
解：(1) =(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵<,>=    得·=0若=(1,0)则·=-1¹0故¹(-1,0) ∴=(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=p    ÞB=   ∴C=   
+=(cosA,2cos2)  =(cosA,cosC)
  ∴|+|===
==   
=    =
∵0<∴0<2A<∴-1方程是__y=-x+5或____y=-x-1_______
7. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为__1____

8. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_________

9. 的反函数为 （ A ）
A B
C D
10. 等比数列中，，则为递增数列的充要条件是（ A ）
A 或 B 或
C 或 D 以上都不对
11. 方程有唯一解，则属于 （ D ）
A 0 B C D R
12. [－] (n∈N)的值为（ A ）
A. B. C. 0 D. 1
13. 对于抛物线y2=4x上任意一点Q，如果点满足|PQ|≥| |,则a的取值范围是
（ B ）
A.（-∞,0) B.(-∞,2］ C.［0,2］ D.(0,2)

14. 若x满足，则x的范围是（ C ）
A B （-1，1） C D
15. 正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为 (　C　)
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2

16. 函数f(x)对任意的都有，并且当x>0时，f(x)>1
（1）求证：f(x)在R上是增函数
（2）若f(3)=4，解不等式

解：（1）略 （2）利用f(1)=2，得-3∴a＝2sin A，b＝2sin B，
∴ab＝4sin Asin B， ∴4sin Asin B＝4cos Acos B，∴cos(A＋B)＝0.
又00，所以g(n)单调递增
又g(2)>0，所以g(n)>0，即恒成立

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