2018年浦东区高三二模数学word版(附解析).doc

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷
2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.
2. 不等式的解集为
3. 已知是等比数列，它的前项和为，且，，则
4. 已知是函数的反函数，则
5. 二项展开式中的常数项为
6. 椭圆（为参数）的右焦点坐标为
7. 满足约束条件的目标函数的最大值为
8. 函数，R的单调递增区间为
9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水
面的宽为 米
10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的体积为
11. 已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意
，恒成立，则实数的取值范围是
12. 已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个
实数、、、、，使得成立，则的最大
值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. ， D. ，

14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）；（2）；（3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）；（2）；（3），正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
16. 设、是R上的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合构成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是（ ）
A. RZ B. ZQ C. D. R

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点为圆锥底面圆周上的一点，为
圆心，是的中点，且.
（1）求圆锥的全面积；
（2）求直线与平面所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）

18. 在中，边、、分别为角、、所对应的边.
（1）若，求角的大小；
（2）若，，，求的面积.

19. 已知双曲线.

（1）求以右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程；
（2）若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点、，求线段的中垂线在轴上截距的取值范围.

20. 已知函数定义域为R，对于任意R恒有.
（1）若，求的值；
（2）若时，，求函数，的解析式及值域；
（3）若时，，求在区间，上的最大值与最小值.

21. 已知数列中，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；
（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对一切，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所
有可能值，如果不存在，请说明理由；
（3）若数列为“数列”，且，证明：.

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷
2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.
【解析】2
2. 不等式的解集为
【解析】
3. 已知是等比数列，它的前项和为，且，，则
【解析】
4. 已知是函数的反函数，则
【解析】
5. 二项展开式中的常数项为
【解析】
6. 椭圆（为参数）的右焦点坐标为
【解析】，右焦点为
7. 满足约束条件的目标函数的最大值为
【解析】交点代入最大，
8. 函数，R的单调递增区间为
【解析】，∴单调递增区间为，
9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水
面的宽为 米
【解析】设，代入，∴，∴，所以宽为
10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的体积为
【解析】是一个边长为的正四面体，体积为
11. 已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意
，恒成立，则实数的取值范围是
【解析】在恒成立，且，解得
12. 已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个
实数、、、、，使得成立，则的最大
值为
【解析】，∴在区间上最大值为，最小值为，
，即m的最大值为6

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. ， D. ，
【解析】由，排除B、C、D，选A
14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）；（2）；（3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）；（2）；（3），正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】① 正确，②③错误，选B
15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【解析】不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，选A
16. 设、是R上的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合构成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是（ ）
A. RZ B. ZQ C. D. R
【解析】根据题意，定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，D符合，故选D
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点为圆锥底面圆周上的一点，为
圆心，是的中点，且.
（1）求圆锥的全面积；
（2）求直线与平面所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
【解析】（1）圆锥的底面积 ……………3分
圆锥的侧面积……………3分
圆锥的全面积……………1分
（2） 且，平面 ……………2分
是直线与平面所成角 ……………1分
在中，,, ……………1分
, ……………2分
所以，直线与平面所成角的为……………1分

18. 在中，边、、分别为角、、所对应的边.
（1）若，求角的大小；
（2）若，，，求的面积.
【解析】（1）由题意，；……………2分
由正弦定理得，∴，……………2分
∴，∴；……………2分
（2）由，，且，∴；…………2分
由，∴,…………2分
∴；…………2分
∴…………2分
19. 已知双曲线.
（1）求以右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程；
（2）若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点、，求线段的中垂线在轴上截距的取值范围.
【解析】（1）…………1分 渐近线 ………1分
…………2分 ………………2分
（2）设经过点的直线方程为,交点为………………1分
…1分 则…2分
的中点为，…1分 得中垂线…1分
令得截距………………2分
即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是.

20. 已知函数定义域为R，对于任意R恒有.
（1）若，求的值；
（2）若时，，求函数，的解析式及值域；
（3）若时，，求在区间，上的最大值与最
小值.
【解析】（1）且
……………1分 ……………1分
………1分 ……1分
（2），
时，，……………1分
时，，……………1分
……………1分
时，，……………1分
……………1分
得：，值域为……………1分
（3）
当时，得：当时，……1分
当时，，
……………2分
当，为奇数时，
当，为偶数时，
综上：时，在上最大值为0，最小值为……………1分
，为偶数时，在上最大值为，最小值为……………1分
，为奇数时，在上最大值为，最小值为……………1分

21. 已知数列中，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；
（2）若数列为“数列且为整数，试问：是否存在数列，使得对一切，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所
有可能值，如果不存在，请说明理由；
（3）若数列为“数列”，且，证明：.
【解析】（1）数列为“数列”，则，故，
两式相减得：， …………………1分
又时，，所以，………………1分
故对任意的恒成立，即（常数），
故数列为等比数列，其通项公式为；………………1分
………………1分
（2）
………………1分
当时，
因为，则；
则………………2分
则，因为
则………………1分
因为，则，且时，，
解得：………………2分
（3）…………1分
，由归纳知，，…………1分
，由归纳知，，…………2分
则
…………1分
…………1分
于是
于是…………1分
，∴…1分
结论显然成立.