第四章《一元二次方程》导学案.doc

第一课时 一元二次方程
一 、学习目标
1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2 知道一元二次方程的一般形式是是常数,) ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3 理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件
4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务,从而激发学习热情，提高学习兴趣。
二 、知识准备：
1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程
2、方程2（x+1）=3的解是________________
3、方程3x+2x=0.44含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”)一元一次方程.
三 、学习内容
1、 根据题意列方程：
⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。
设正方形桌面的边长是xm，根据题意,得方程_______________,这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____.
⑵如图4—1，矩形花园一面靠墙,另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的面积是24㎡,求花园的长和宽.
设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x）m,根据题意,得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数,含有未知数项的最高次数是________。

⑶如图，长5m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3m.若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离.（3＋x）＋设梯子滑动的距离是xm，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x）m，梯子的底端与墙的距离是（3＋x)m。
根据题意,得：
去括号,得:_____________________移项,合并同类项，得：-_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。
2、概括归纳与知识提升：
⑴像,,这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。
〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。
,，， 。
(2）任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：
是常数，) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数.
练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
（1）x(11－x）=30 （2）（20＋2x）(40－x）=1200
(3) （4）
四、 知识梳理
含有_____________个未知数，并且含有未知数的最高次数是_____________的整式方程叫一元二次方程，它的一般形式是_______________________，二次项是_________，一次项是_________,常数项是_________。
五 、达标检测
1、方程x(4x+3）=3x+1化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______________,一次项系数是_______________，常数项是____________________
2、(1）方程中,有一个根为2，则n的值。
（2）一元二次方程有一个解为0,试求的解

3、根据题意列方程
（1）一个矩形纸盒的一个面中长比宽多2㎝，这个面的面积是15㎝2，求这个矩形的长与宽;
(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数;
(3）两个数的和为6,积为7，求这两个数；
(4）一个长方形的周长是30㎝，面积是54㎝2，求这个长方形的长与宽。

（六）、学习反馈：
1、本节课有困惑的题目是:

2、本节课的学习收获是：

第二课时 一元二次方程的解法
一、学习目标
1、了解形如的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法.
2、会用直接开平方法解一元二次方程。
3、理解直接开平方法与平方根的定义的关系。
4、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换元思想。
二、知识准备
1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数.
（1)
(2）
(3）
2、要求学生复述平方根的意义。
(3）4 的平方根是 ，81的平方根是 ，

100的算术平方根是 .
三、学习内容
1、如何解方程呢？
由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。我们把这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法.
形如方程可变形为 的形式,用直接开平方法求解。
2、形如的方程的解法。
说明:(1）解形如的方程时,可把看成整体,然后直开平方程。
（2）注意对方程进行变形,方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，
（3)如果变形后形如中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。
(4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。
3、试一试
解方程（1) （2）

(3）(x＋1）2－4＝0； （4）12（2－x）2－9＝0。

四、知识梳理
1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；
2、对于形如(a≠0,a≥0)的方程，只要把看作一个整体,就可转化为（n≥0)的形式用直接开平方法解.
3、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗?
五、达标检测
1、解下列方程：
（1）x2＝169；　　　2)45－x2＝0; （3）12y2－25＝0； （4）4x2+16＝0

2、解下列方程:
（1）（x＋2）2－16＝0 (2）(x－1)2－18＝0； （3）(1－3x）2＝1； （4）（2x＋3）2－25＝0

（六）、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是:

第三课时 一元二次方程的解法
一、学习目标
1、经历探究将一元二次方程的一般（n≥0）形式的过程,进一步理解配方法的意义
2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化的思想方法
二、知识准备
1、请写出完全平方公式。
（a＋b)2 = （a—b)2 =
2、用直接开平方法解下例方程：
(1） （2）

3、思考:如何解下例方程
（1） （2)
三、学习内容
问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？
问题2、能否将方程转化为（的形式呢？

由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为(x＋m)2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
四、典型例题
例1、解下例方程
(1）－4x＋3＝0。 （2）x2＋3x－1 = 0

例2、解下列方程
(1）－6x－7＝0； (2）＋3x＋1＝0.

四、知识梳理
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、利用直接开平方法解之.
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方?
五、达标检测
1、将下列各式进行配方：
⑴＋8x＋_____＝ （ x + ____ ) ⑵－5x＋_____＝（ x- ____ )
（3）－6x＋_____＝ （ x - _____ )
2、。填空:
（1）（ )＝（ ）（2）－8x＋（ ）＝（ ）
（3）＋x＋（ ）＝（ ) （4）4－6x＋( ）＝4（ ）
3、用配方法解方程：
（1）＋2x＝5; (2）－4x＋3＝0。

（3）＋8x－2＝0 （4）－5 x－6＝0。

（5)

4、试用配方法证明：代数式x2+3x—的值不小于—。

(六）、学习反馈：
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是：

第四课时 一元二次方程的解法
一、 知识目标
1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程
2、经历探究将一般一元二次方程化成（形式的过程,进一步理解配方法的意义
3、在用配方法解方程的过程中,体会转化的思想。
重点:使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
难点把一元二次方程转化为的(x＋m）2= n（n≥0）形式
二、知识准备
1、用配方法解下列方程：
(1）x2-6x—16=0； （2)x2+3x-2=0；

2、请你思考方程x2-x+1=0与方程2x2—5x+2=0有什么关系？

三、学习内容
如何解方程2x2-5x+2=0?
点拨：
对于二次项系数不为1的一元二次议程,我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解
四、典型例题
例1、解方程：

例2、-

五、知识梳理
1、对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
系数化一，移项，配方，开方,解一元二次方程
六、达标检测
1、填空：
(1)x2-x+ =（x— )2, (2）2x2-3x+ =2（x— ）2.
(3）a2+b2+2a-4b+5=(a+ ）2+(b- ）2
2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2（x+4）2—10=0的根是 .
4、用配方法解方程2x2—4x+3=0，配方正确的是( ）
A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2—4x+4=-3+4
C.x2—2x+1=+1 D。 x2-2x+1=—+1
5、用配方法解下列方程：
（1); （2）

（3） （4) 3y2-y—2=0

6、已知(a+b)2=17，ab=3。求(a-b)2的值。

（六）、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是：

第五课时 一元二次方程的解法
一、知识目标
1、会用公式法解一元二次方程
2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0
3、在公式的推导过程中培养学生的符号感
重点:掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误
二、知识准备
1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、用配方法解下例方程
（1） （2）

三、学习内容
如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0

1、阅读下列解方程的过程：
因为，方程两边都除以,得
移项，得
配方，得 　　　　　　
即
当,时，

，即。
2、思考：
（1）为什么要求？
(2）这个公式说明了什么？
（这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值,直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。）
(3）若b2 – 4ac＜ 0，方程还有根吗？
3、请你利用求根公式解下列方程:
⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4

四、知识梳理
1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？
2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗?举例说明。
3、若解一个一元二次方程时,b2－4ac＜0，请说明这个方程解的情况.
五、达标检测

1、把方程4—x2=3x化为ax2+bx+c=0（a≠0）形式为 ，b2—4ac= 。
2、用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； (2）x2+2x4=0; (3）2x2—3x—2=0；

（4）3x(3x—2）+1=0. (5） （6）

3、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。

(六）、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是：

第六课时 一元二次方程的解法
一、学习目标
1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用
2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况
3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
重点:一元二次方程根与系数的关系
难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值
二、 知识准备
1、一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）当时，X1，2 =
2、运用公式法解下例方程:
(1）x2 —4x+4=0 （2）2x2 —3x —4=0 （3) x2+3x+5=0

三、学习内容
1、情境创设
1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
2、探索活动
1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢?
3、解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0

4、通过解上述方程你能得出什么结论?
探索一元二次方程的根的情况与b2－4ac的符号有什么关系？

四、知识梳理
1、一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）
有两个不相等的实数根时 ， b2－4ac
有两个相等的实数根时， b2－4ac
没有实数根时， b2－4ac
2、反过来呢？
3、方程的根与系数又有怎样的关系？
五、达标检测
1、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）； （2)； （3）
（4) 3x2－x＋1 = 3x （5)5（x2＋1）= 7x （6)3x2－4x =－4
2、方程3x2+2=4x的判别式b2—4ac= ，所以方程的根的情况是 。
3、一元二次方程x2—4x+4=0的根的情况是（ ）
A.有两个不等的实数根 B。有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.不能确定
4、下列方程中，没有实数根的方程式（ ）
A。x2=9 B。4x2=3(4x-1)
C。x(x+1）=1 D。2y2+6y+7=0
5、方程ax2+bx+c=0(a≠0）有实数根,那么总成立的式子是( ）
A.b2—4ac＞0 B。 b2-4ac＜0
C。 b2—4ac≤0 D. b2-4ac≥0
6、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= 。
7、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k = .
8、已知方程x2—mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= 。
9、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m满足___________。
10、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？

（六)、学习反馈：
1、本节课有困惑的题目是:

2、本节课的学习收获是：

第七课时 一元二次方程的解法
一、学习目标：
1、了解因式分解法的解题步骤；
2、能用因式分解法解一元二次方程。
3、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性；
学习重点:应用因式分解法解一元二次方程。
学习难点：因式分解的方法。
二、知识准备：
1、什么叫因式分解？因式分解的目的是什么?你已经学习了哪些因式分解的方法？
2、你能用因式分解的方法来解方程 吗？
三、学习内容：
1、把下列各式因式分解
（1） (2） (3）

2、解下列一元二次方程：
（1) （2）

（3) （4）

四、知识梳理：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
１、将方程的右边化为０
２、将方程左边因式分解．
３、根据“至少有一个因式为零”，得到两个一元一次方程
４、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根。
五、典型例题
例1、 解方程：

例2、解方程：

六、达标测试
1、解下列一元二次方程
（1） (2）
（3) （4）
2、用因式分解法解下列一元二次方程
(1） (2)

3、用因式分解法解一元二次方程
(1）3x2=x (2）x＋3－x（x+3)=0

（3） （4）

（六)、学习反馈：
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是：

第八课时 用一元二次方程解决问题
一、学习目标:
1、进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，
2、经历用一元二次方程解会用一元二次方程解决有关几何图形面积、体积问题
3、通过对实际问题的决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在。
学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题．
学习难点：如何找出形积问题中的等量关系
二、知识准备:
情境创设：
动手折一折:（1） 如何把一张长方形硬纸片折成 一个无盖的长方体纸盒？ （2） 无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？
问题1：如图,一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器,求这块铁皮的长和宽．

引申:如上图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米。求截去正方形的边长。
三、学习内容:
如图1，一张长40cm，宽25cm的长方形纸片,裁去角上四个小正方形之后。折成如图2的无盖纸盒,若纸盒的底面积是450cm2,那么纸盒的高是多少?
图 1

25cm
40cm

例2在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少？

四、知识梳理：
1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？
2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？
五、达标检测:
1、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽。

2、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽。

3、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米，池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的长。

4、在长为40米、宽为22米的矩形地面内,修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少?

（六）、学习反馈：
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是:

第九课时 用一元二次方程解决问题
一、学习目标
1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法
2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力
知识准备
无盖的长方体是如何制作的？增长率你是如何理解的？
学习内容：
一、情境创设
一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽。
二、探索活动
如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么?
一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。
三、典型例题
例1、某商店6月份的利润是2500元,要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？
分析：如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1＋x）元，8月份的利润是2500（1＋x)2元.

例2、一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400㎝,求原铁皮的边长。

四．知识梳理
谈谈用一元二次方程解决例1、例2实际问题的方法?
五．达标检测
1、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价,无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折?

2、某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田，2009年粮食产量上升到60.5吨。求平均每年增长的百分率。

3、某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少？

4、某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨，此后每月比上个月产量提高的百分数相同，且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数。

5、邳州市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2010年共捐款4.75万元，问该厂捐款的平均增长率是多少?

（六)、学习反馈：
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是:

第十课时 用一元二次方程解决问题
一、学习目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
二、知识准备：
情境创设：
问题1、一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形?
（2)能否围成面积是32 cm2的矩形?并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是______
根据相等关系：
三、学习内容：
例题1、如图所示（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场,鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？（2）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？（3） 如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由.
（4)如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明.

例题2、如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）.那么,当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？

练习：
1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗?

2、如图，在矩形ABCD中,AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?

四、知识梳理:
1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？
2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？
五、达标检测：
1、如图,有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为a为15米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米?
（2)能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

2、把一根长为80cm的绳子剪成两段,并把每一段绳子围成一个正方形.
(1要使这两个正方形的面积之和等于200cm2, 该怎么剪？
（2）这两个正方形面积之和可能等于488cm2吗?

（六）、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是：

2、本节课的学习收获是：