第四章《一元二次方程》导学案.doc

第一课时 一元二次方程一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是是常数,) ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务,从而激发学习热情，提高学习兴趣。二 、知识准备： 1、只含有_ 个未知数，且未知数的最高次数是_的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是_ 3、方程3x+2x=0.44含有_ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_ ，它_ （填“是”或“不是”)一元一次方程.三 、学习内容 1、 根据题意列方程： 正方形桌面的面积是2，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm，根据题意,得方程_,这个方程含有_个未知数，未知数的最高次数是_. 如图41，矩形花园一面靠墙,另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的面积是24,求花园的长和宽. 设花园的宽是xm,则花园的长是（192x）m,根据题意,得：x(192x)=24，去括号，得:_这个方程含有_个未知数,含有未知数项的最高次数是_。 如图，长5m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3m.若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离.（3x）设梯子滑动的距离是xm，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m，则滑动后梯子的顶端离地面（4x）m，梯子的底端与墙的距离是（3x)m。根据题意,得： 去括号,得:_移项,合并同类项，得：-_此方程含有_个未知数，含有未知数项的最高次数是_。2、概括归纳与知识提升： 像,这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 思考感悟判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。,， 。 (2）任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式： 是常数，) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数.练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:（1）x(11x）=30 （2）（202x）(40x）=1200(3) （4） 四、 知识梳理 含有_个未知数，并且含有未知数的最高次数是_的整式方程叫一元二次方程，它的一般形式是_，二次项是_，一次项是_,常数项是_。五 、达标检测1、方程x(4x+3）=3x+1化为一般形式为_，它的二次项系数是_,一次项系数是_，常数项是_2、(1）方程中,有一个根为2，则n的值。 （2）一元二次方程有一个解为0,试求的解3、根据题意列方程（1）一个矩形纸盒的一个面中长比宽多2，这个面的面积是152，求这个矩形的长与宽;(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数;(3）两个数的和为6,积为7，求这两个数；(4）一个长方形的周长是30，面积是542，求这个长方形的长与宽。（六）、学习反馈：1、本节课有困惑的题目是: 2、本节课的学习收获是： 第二课时 一元二次方程的解法一、学习目标1、了解形如的一元二次方程的解法 直接开平方法.2、会用直接开平方法解一元二次方程。3、理解直接开平方法与平方根的定义的关系。4、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换元思想。二、知识准备1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数.（1) (2）(3）2、要求学生复述平方根的意义。(3）4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 100的算术平方根是 . 三、学习内容1、如何解方程呢？由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。我们把这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法.形如方程可变形为 的形式,用直接开平方法求解。2、形如的方程的解法。说明:(1）解形如的方程时,可把看成整体,然后直开平方程。（2）注意对方程进行变形,方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，（3)如果变形后形如中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。(4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。3、试一试解方程（1) （2）(3）(x1）240； （4）12（2x）290。四、知识梳理1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2、对于形如(a0,a0)的方程，只要把看作一个整体,就可转化为（n0)的形式用直接开平方法解. 3、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗?五、达标检测1、解下列方程：（1）x2169；(2)45x20; （3）12y2250； （4）4x2+1602、解下列方程:（1）（x2）2160 (2）(x1)2180； （3）(13x）21； （4）（2x3）2250（六）、学习反馈:1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是: 第三课时 一元二次方程的解法一、学习目标1、经历探究将一元二次方程的一般（n0）形式的过程,进一步理解配方法的意义2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。3、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化的思想方法二、知识准备1、请写出完全平方公式。 （ab)2 = （ab)2 = 2、用直接开平方法解下例方程：(1） （2）3、思考:如何解下例方程（1） （2)三、学习内容问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？ 问题2、能否将方程转化为（的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为(xm)2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.四、典型例题例1、解下例方程(1）4x30。 （2）x23x1 = 0例2、解下列方程(1）6x70； (2）3x10.四、知识梳理用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之. 思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方?五、达标检测1、将下列各式进行配方：8x_ （ x + _ ) 5x_（ x- _ )（3）6x_ （ x - _ )2、。填空:（1）（ )（ ）（2）8x（ ）（ ）（3）x（ ）（ ) （4）46x( ）4（ ）3、用配方法解方程：（1）2x5; (2）4x30。（3）8x20 （4）5 x60。 （5) 4、试用配方法证明：代数式x2+3x的值不小于。(六）、学习反馈：1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是： 第四课时 一元二次方程的解法一、 知识目标1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（形式的过程,进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中,体会转化的思想。重点:使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的(xm）2= n（n0）形式二、知识准备1、用配方法解下列方程：(1）x2-6x16=0； （2)x2+3x-2=0；2、请你思考方程x2-x+1=0与方程2x25x+2=0有什么关系？三、学习内容如何解方程2x2-5x+2=0?点拨：对于二次项系数不为1的一元二次议程,我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解四、典型例题例1、解方程：例2、-五、知识梳理1、对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？系数化一，移项，配方，开方,解一元二次方程六、达标检测1、填空：(1)x2-x+ =（x )2, (2）2x2-3x+ =2（x ）2.(3）a2+b2+2a-4b+5=(a+ ）2+(b- ）22、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。3、方程2（x+4）210=0的根是 .4、用配方法解方程2x24x+3=0，配方正确的是( ）A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x24x+4=-3+4 C.x22x+1=+1 D。 x2-2x+1=+15、用配方法解下列方程：（1); （2） （3） （4) 3y2-y2=06、已知(a+b)2=17，ab=3。求(a-b)2的值。（六）、学习反馈:1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是： 第五课时 一元二次方程的解法一、知识目标1、会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b24ac03、在公式的推导过程中培养学生的符号感重点:掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误二、知识准备1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法解下例方程（1） （2）三、学习内容如何解一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）？1、阅读下列解方程的过程：因为，方程两边都除以,得 移项，得 配方，得 即 当,时，即。2、思考：（1）为什么要求？(2）这个公式说明了什么？（这个公式说明方程的根是由方程的系数、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、的值,直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。）(3）若b2 4ac 0，方程还有根吗？3、请你利用求根公式解下列方程: x23x2 = 0 2 x27x = 4四、知识梳理1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗?举例说明。3、若解一个一元二次方程时,b24ac0，请说明这个方程解的情况.五、达标检测1、把方程4x2=3x化为ax2+bx+c=0（a0）形式为 ，b24ac= 。2、用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0； (2）x2+2x-4=0; (3）2x23x2=0； （4）3x(3x2）+1=0. (5） （6）3、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。(六）、学习反馈:1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是： 第六课时 一元二次方程的解法一、学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b24ac对根的情况的判断作用2、能用b24ac的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程重点:一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值二、 知识准备1、一元二次方程ax2bxc = 0（a0）当时，X1，2 = 2、运用公式法解下例方程:(1）x2 4x+4=0 （2）2x2 3x 4=0 （3) x2+3x+5=0三、学习内容1、情境创设1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 3 2、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢?3、解下列方程： x2x1 = 0 x22x3 = 0 2x22x1 = 04、通过解上述方程你能得出什么结论? 探索一元二次方程的根的情况与b24ac的符号有什么关系？四、知识梳理1、一元二次方程ax2bxc = 0（a0）有两个不相等的实数根时 ， b24ac 有两个相等的实数根时， b24ac 没有实数根时， b24ac 2、反过来呢？3、方程的根与系数又有怎样的关系？五、达标检测1、不解方程，判断下列方程根的情况：（1）； （2)； （3）（4) 3x2x1 = 3x （5)5（x21）= 7x （6)3x24x =42、方程3x2+2=4x的判别式b24ac= ，所以方程的根的情况是 。3、一元二次方程x24x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根 B。有两个相等的实数根C.没有实数根 D.不能确定4、下列方程中，没有实数根的方程式（ ）A。x2=9 B。4x2=3(4x-1)C。x(x+1）=1 D。2y2+6y+7=05、方程ax2+bx+c=0(a0）有实数根,那么总成立的式子是( ）A.b24ac0 B。 b2-4ac0 C。 b24ac0 D. b2-4ac06、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= 。7、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k = .8、已知方程x2mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= 。9、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m满足_。10、当k为何值时，关于x的方程kx2（2k1）xk3 = 0有两个不相等的实数根？（六)、学习反馈：1、本节课有困惑的题目是: 2、本节课的学习收获是： 第七课时 一元二次方程的解法一、学习目标： 1、了解因式分解法的解题步骤；2、能用因式分解法解一元二次方程。3、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性；学习重点:应用因式分解法解一元二次方程。学习难点：因式分解的方法。二、知识准备：1、什么叫因式分解？因式分解的目的是什么?你已经学习了哪些因式分解的方法？2、你能用因式分解的方法来解方程吗？三、学习内容： 1、把下列各式因式分解 （1） (2） (3）2、解下列一元二次方程： （1) （2） （3) （4）四、知识梳理：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：、将方程的右边化为、将方程左边因式分解、根据“至少有一个因式为零”，得到两个一元一次方程、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根。五、典型例题例1、 解方程： 例2、解方程： 六、达标测试1、解下列一元二次方程 （1） (2） （3) （4）2、用因式分解法解下列一元二次方程(1） (2) 3、用因式分解法解一元二次方程(1）3x2=x (2）x3x（x+3)=0（3） （4） （六)、学习反馈：1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是： 第八课时 用一元二次方程解决问题一、学习目标:1、进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，2、经历用一元二次方程解会用一元二次方程解决有关几何图形面积、体积问题3、通过对实际问题的决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在。学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题学习难点：如何找出形积问题中的等量关系二、知识准备:情境创设：动手折一折:（1） 如何把一张长方形硬纸片折成 一个无盖的长方体纸盒？ （2） 无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？ 问题1：如图,一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器,求这块铁皮的长和宽 引申:如上图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米。求截去正方形的边长。三、学习内容:如图1，一张长40cm，宽25cm的长方形纸片,裁去角上四个小正方形之后。折成如图2的无盖纸盒,若纸盒的底面积是450cm2,那么纸盒的高是多少? 图 125cm40cm例2在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少？四、知识梳理：1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？五、达标检测:1、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽。 2、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽。3、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米，池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的长。4、在长为40米、宽为22米的矩形地面内,修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少?（六）、学习反馈：1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是: 第九课时 用一元二次方程解决问题一、学习目标1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力知识准备无盖的长方体是如何制作的？增长率你是如何理解的？学习内容：一、情境创设一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5，容积是5003的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽。二、探索活动如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么?一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长宽高=容积”与“长=宽2”。三、典型例题例1、某商店6月份的利润是2500元,要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？分析：如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1x）元，8月份的利润是2500（1x)2元.例2、一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400,求原铁皮的边长。 四知识梳理谈谈用一元二次方程解决例1、例2实际问题的方法?五达标检测1、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价,无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折?2、某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田，2009年粮食产量上升到60.5吨。求平均每年增长的百分率。3、某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少？4、某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨，此后每月比上个月产量提高的百分数相同，且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数。5、邳州市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2010年共捐款4.75万元，问该厂捐款的平均增长率是多少?（六)、学习反馈：1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是: 第十课时 用一元二次方程解决问题一、学习目标：、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。二、知识准备：情境创设：问题1、一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形?（2)能否围成面积是32 cm2的矩形?并说明理由。分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是_。根据相等关系： 三、学习内容：例题1、如图所示（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场,鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？（2）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？（3） 如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由.（4)如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明.例题2、如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t3）.那么,当t为何值时，QAP的面积等于2cm2？ 练习：1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗?2、如图，在矩形ABCD中,AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后PBQ的面积等于8 cm2?四、知识梳理:1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？五、达标检测：1、如图,有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为a为15米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米?（2)能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。2、把一根长为80cm的绳子剪成两段,并把每一段绳子围成一个正方形.(1）要使这两个正方形的面积之和等于200cm2, 该怎么剪？（2）这两个正方形面积之和可能等于488cm2吗?（六）、学习反馈:1、本节课有困惑的题目是： 2、本节课的学习收获是：