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定积分中奇偶函数和周期函数处理方法 作者： 日期：2 个人收集整理 勿做商业用途定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性,我们有如下结论1、若是奇函数（即），那么对于任意的常数a,在闭区间上，.2、若是偶函数（即），那么对于任意的常数a，在闭区间上.3、若为奇函数时，在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时,只有唯一原函数为奇函数即.事实上:设，其中为任意常数。当为奇函数时,为偶函数，任意常数也是偶函数的全体原函数为偶函数；当为偶函数时,为奇函数，任意常数时为偶函数 既为非奇函数又为非偶函数，的原函数只有唯一的一个原函数即是奇函数.4、若是以为周期的函数(即），且在闭区间上连续可积，那么。5、若是以为周期的函数（即），那么以为周期的充要条件是 事实上：,由此可得 .(二）、定积分中奇偶函数的处理方法1。 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数,之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间.2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算.3。 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项,可以按照如下方法处理：设 ，则，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。(三）、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期(特别是三角函数与复合的三角函数的周期）,并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题.二、典型例题例1 设在上连续可积，证明：（1)若为奇函数则(2）若为偶函数,则.证明：（1）因为，而对前一项中令,则所以。（2)因为， 而 ,对前一项中 令相似的有，所以。例2 设在上连续，且以T为周期，证。证明： 由,在上式右端最后一个积分中,令则有 ，即有，成立再证，因为对于 令 则,因为所以有，。例3 求定积分 。解：被积函数为偶函数,例4 求定积分，其中为自然数.解:注意到是偶函数且以为周期,因此利用性质可以简化计算.例5 计算：（自然数或为奇数)。解:由周期函数积分性质得当为奇数时，由于被积函数为奇函数，故当为奇数时(设）时其中为的某个多项式(不含常数项) 因此例6 求定积分 。解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故例7 求定积分I=。解:I=,因为是奇函数，而是偶函数，所以I=2 =例8 求定积分I=。解:设则I= 因为是奇函数所以例9 求定积分I=。解：令，则,因为，所以,例10 求定积分 I=。分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f（x）=和一个偶函数u（x）=之和.解:I= = + =2 =2例11 求定积分I=。分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到为奇函数在对称区间上积分为零,因此就可以简化积分，而在上积分恰好是以原点为圆心,半径为的上半圆周面积， s= 解：I= = 0 = 2 = 2 = 例12 设在上连续，证明，并由此计算 。解：若记，显而易见为偶函数,为奇函数,而且.所以有利用上述公式可得例13 求定积分I=。分析：此题的积分区间关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数,我们可以将其凑成奇偶函数.按照上一题的结果我们可以知道为奇函数，而为偶函数 解:例14 求定积分 其中。分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐,可以考虑还原.令 则移向得: 所以 例15 求定积分 .解： 例16 求定积分 解：注意到被积函数是以为周期的偶函数,因此可用定积分中相应性质简化计算例17 求定积分.解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算例18 证是以T为周期的周期函数，则.证明：因为 故只需证明由题设可知 现令，当时，；当时，且 所以有例19 设是以为周期的周期函数，证明。分析：等价于 所以 =即由题设 可令 证明：令，则例20 设函数(1）当n为正整数,且时，证明；(2）求证明:（1)因为，且，所以,又因为具有周期,在长度的积分区间上积分值相等：，从而同理可得到(2)由（1)有,当去极限，由夹逼定理得，例21 设函数在上连续，而且。证明：(1)若为偶函数，则也是偶函数；（2）若单调不减，则单调不减(1)证明：令,则故为偶函数.(2)由于被积函数连续，所以可导，且，因此在上单调不减例22 设在上连续,以T为周期，令,求证:（1)一定能表成：,其中k为某常数,是以T为周期的周期函数；（2);(3)若有，n为自然数，则当时,有。证明:（1) 即确定常数k,使得以T为周期，由于T因此，取，,则是以T为周期的周期函数。 此时 (2) 。且在上连续并以T为周期，于是在在有界，在也有界。因此(3）因，所以当时，例23 设是上的连续函数,试运用周期函数性质证明。证明：因为，其中，令，令,则，所以左端，按照周期函数的性质知所以左端=,，知 故例24 设，证明(1）;（2)求出的最大最小值。证明:（1)，设，当时，；当时，则（2) 因为右端连续，故可导，又为周期函数,故只讨论一个周期内即可，现讨论 当时，当时，当时，所以当时取最大值，；当时取最大值,。参考文献1曹绳武,王振中，于远许 高等数学重要习题集 大连理工大学出版社 20012郝涌，卢士堂 考研数学精解 华中理工大学出版社 19993李永乐,李正元 考研复习全书国家行政出版社 20124林益，邵琨，罗德斌等 数学分析习题详解 2005课程论文成绩考核表学生姓名专业班级题 目评 审 者考 核 项 目评分指导教师1平时态度与遵守纪律的情况（满分20分）2掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平（满分20分）3抽签答题的正确性(满分20分)4完成任务的情况与水平（按规范化要求）（满分20分)5答辩时讲述的条理性与系统性(满分20分）总评成绩总评成绩等级（优、良、中、及格、不及格）指导教师签字： 12