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定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

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定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法

一、基本方法
(一)、奇偶函数和周期函数的性质
在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性,我们有如下结论
1、若是奇函数（即），那么对于任意 的常数a,在闭区间上，.
2、若是偶函数（即），那么对于任意的常数a，在闭区间上.
3、若为奇函数时，在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时,只有唯一原函数为奇函数即.
事实上:设，其中为任意常数。
当为奇函数时,为偶函数，任意常数也是偶函数的全体原函数为偶函数；
当为偶函数时,为奇函数，任意常数时为偶函数 既为非奇函数又为非偶函数，的原函数只有唯一的一个原函数即是奇函数.
4、若是以为周期的函数(即），且在闭区间上连续可积，那么。
5、若是以为周期的函数（即），那么以为周期的充要条件是
事实上：,由此可得 .
(二）、定积分中奇偶函数的处理方法
1。 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数,之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间.
2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算.
3。 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项,可以按照如下方法处理：设 ，，则，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。
(三）、定积分中周期函数的处理方法
对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期(特别是三角函数与复合的三角函数的周期）,并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题.
二、典型例题
例1 设在上连续可积，证明：
（1)若为奇函数则(2）若为偶函数,则.
证明：（1）因为，而
对前一项中令,则
所以。
（2)因为， 而
,对前一项中 令相似的有，所以。
例2 设在上连续，且以T为周期，证。
证明： 由,在上式右端最后一个积分中,令则有 ，即有，成立
再证，因为对于 令 则,因为所以有，。
例3 求定积分 。
解：被积函数为偶函数,

例4 求定积分，其中为自然数.
解:注意到是偶函数且以为周期,因此利用性质可以简化计算
.
例5 计算：（自然数或为奇数)。
解 :由周期函数积分性质得
当为奇数时，由于被积函数为奇函数，故
当为奇数时(设…）时

其中为的某个多项式(不含常数项) 因此
例6 求定积分 。
解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故
例7 求定积分I=。
解:I=,因为是奇函数，而是偶函数，所以I=2
=
例8 求定积分I=。
解:设则I== 因为是奇函数所以
例9 求定积分I=。
解：令，则,因为，所以,

例10 求定积分 I=。
分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f（x）=和一个偶函数u（x）=之和.
解:
I= = +
=2 =2

例11 求定积分I= 。
分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到为奇函数在对称区间上积分为零,因此就可以简化积分，而在上积分恰好是以原点为圆心,半径为的上半圆周面积， s==
解：I= = = 0 = 2 = 2 =
例12 设在上连续，证明，并由此计算 。
解：若记，，显而易见为偶函数,为奇函数,而且.所以有

利用上述公式可得
例13 求定积分I=。
分析：此题的积分区间关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数,我们可以将其凑成奇偶函数.按照上一题的结果我们可以知道为奇函数，而为偶函数
解:

例14 求定积分 其中。
分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐,可以考虑还原.
令 则

移向得: 所以
例15 求定积分 .
解：

例16 求定积分
解：注意到被积函数是以为周期的偶函数,因此可用定积分中相应性质简化计算

例17 求定积分.
解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算

例18 证是以T为周期的周期函数，则.
证明：因为 故只需证明
由题设可知 现令，当时，；
当时，且 所以有
例19 设是以为周期的周期函数，证明
。
分析：等价于
所以 =
即由题设 可令
证明：
令，则

例20 设函数
(1） 当n为正整数,且时，证明；
(2）求
证明:（1)因为，且，所以
,又因为具有周期,在长度的积分区间上积分值相等：，从而

同理可得到
(2)由（1)有,当去极限，由夹逼定理得，
例21 设函数在上连续，而且。
证明：(1)若为偶函数，则也是偶函数；（2）若单调不减，则单调不减

(1)证明：令,则

故为偶函数.
(2) 由于被积函数连续，所以可导，且

，因此在上单调不减
例22 设在上连续,以T为周期，令,求证:
（1)一定能表成：,其中k为某常数,是以T为周期的周期函数；
（2);
(3)若有，n为自然数，则当时,有
。
证明:（1) 即确定常数k,使得以T为周期，由于T因此，取，,则是以T为周期的周期函数。 此时
(2) 。且在上连续并以T为周期，于是在在有界，在也有界。因此
(3）因，所以当时，

例23 设是上的连续函数,试运用周期函数性质证明
。
证明：因为，其中，令，

令,则，所以左端
，按照周期函数的性质知 所以
左端=,，知
故
例24 设，证明(1）;（2)求出的最大最小值。
证明:（1)，设，当时，；当时，，则
（2) 因为右端连续，故可导，，又为周期函数,故只讨论一个周期内即可，现讨论
当时，，当时，，当时，
所以当时取最大值，；
当时取最大值,。

参考文献
[1]曹绳武,王振中，于远许 高等数学重要习题集 大连理工大学出版社 2001
[2］郝涌，卢士堂 考研数学精解 华中理工大学出版社 1999
[3]李永乐,李正元 考研复习全书 国家行政出版社 2012
[4］林益，邵琨，罗德斌等 数学分析习题详解 2005

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专业班级

题 目

评 审 者
考 核 项 目
评分
指
导
教
师

1
平时态度与遵守纪律的情况（满分20分）

2
掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平（满分20分）

3
抽签答题的正确性(满分20分)

4
完成任务的情况与水平（按规范化要求）（满分20分)

5
答辩时讲述的条理性与系统性(满分20分）

总评成绩

总评成绩等级（优、良、中、及格、不及格）

指导教师签字：

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