高数A1空间解析几何与向量代数(答案).doc

第八章 空间解析几何与向量代数

1．自点分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。
解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。
平面，垂足的坐标为；
平面，垂足的坐标为；
平面，垂足的坐标为；
轴，垂足的坐标为；轴，垂足的坐标为；
轴，垂足的坐标为。
2．在平面上，求与三点、和等距离的点。
解：设所求点为 则
， ，。
由于与、、三点等距，故，
于是有：， 解此方程组，得，，故所求的点为。
3．已知，，求的模、方向余弦与方向角。
解：由题设知： 则

，，，
于是，，，。
4．已知，，，求下列各向量的坐标：
(1)；(2)；(3)；(4)
解：(1) ；(2)；(3)；
(4)
5．设向量的方向余弦分别满足(1)；(2)；(3)，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解：(1)，向量与轴的夹角为，则向量与轴垂直或平行于平面；
(2)，向量与轴的夹角为，则向量与轴同向；
(3)，则向量既垂直于轴，又垂直于轴，即向量垂直于面。
6．分别求出向量，及的模，并分别用单位向量，，表示向量，，。
解：，，，，，。
7．设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。
解：
故在轴上的投影为13，在轴上的分向量为。
8．在坐标面上求一与已知向量垂直的向量。
解：设所求向量为，由题意，

取，得，故与垂直。当然任一不为零的数与的乘积也垂直。
9．求以，，为顶点的三角形的面积。
解：由向量的定义，可知三角形的面积为，因为，，所以
，
于是，
10．求与向量，都垂直的单位向量。
解：由向量积的定义可各，若，则同时垂直于和，且
，
因此与平行的单位向量有两个：
和

11．设三向量，，满足，试证三向量，，共面。
证：由有

两边与作数量积，得

由于，，所以，从而，，共面。
12．将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为，即。
13．画出下列各方程所表示的曲面：
a/2

(1)
o
(1)；(2)；(3)。

2

3

(2)

（3）

14．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
(1)；(2)；(3)；(4)。

方程
在平面解几中表示
在空间解几中表示

平行于轴的一直线
与平面平行且过的平面

斜率为1，在轴截距为1的直线
平行于轴，过(0,1,0)，(-1,0,1)的平面

圆心在原点，半径为2的圆
以过轴的直线为轴，半径为2的圆柱面

双曲线
母线平行于轴的双曲柱面
15．说明下列旋转曲面是怎样形成的？
(1)；(2)。
解：(1)由坐标面上的双曲线，绕轴旋转一周或是坐标面上的双曲线，绕轴旋转一周得到。
(2)是坐标面上关于轴对称的一对相交直线，即和中之一条绕轴旋转一周；或是坐标上关于轴对称的一对相交直线，即和中之一条，绕轴旋转一周。
16．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？
(1)；(2)
解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；
(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。
17．分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。
解：10．从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过已知曲线的柱面方程；
20．从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过此曲线的柱面方程。
18．求球面与平面的交线在面上的投影的方程。
解：由，得，代入，消去得，即，这就是通过球面与平面的交线，并且母线平行于轴的柱面方程，将它与联系，得：，即为所求的投影方程。
19．求平面与面的夹角。
解：为此平面的法向量，设此平面与的夹角为，则，故。
20．分别按下列条件求平面方程
(1)平行于面且经过点；
(2)通过轴和点；
(3)平行于轴且经过两点和。
解：(1)因为所求平面平行于面，故为其法向量，由点法式可得：
，
即所求平面的方程：。
(2)因所求平面通过轴，其方程可设为，已知点在此平面上，因而有，即，代入（*）式得：
，即所求平面的方程为：。
(3)从共面式入手，设为所求平面上的任一点，点和分别用，表示，则，，共面，从而，于是可得所求平面方程为：。
21．用对称式方程及参数式方程表示直线：。
解：因为直线的方向向量可设为，在直线上巧取一点（令，解直线的方程组即可得，），则直线的对称式方程为，参数方程为：，，。
22．求过点且与两平面和平行的直线方程。
解：因为两平面的法向量与不平行，所以两平面相交于一直线，此直线的方向向量，故所求直线方程为。
23．求直线与平面的夹角。
解：已知直线的方向向量，已知平面的法向量，而，所以，故直线与平面的夹解为0。
24．确定直线 和平面间的位置关系。
解：直线的方向向量
平面的法向量

从而，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。
再将直线上的点的坐标代入平面方程左边，得，即不在平面上，故直线平行于平面。
25．设，，，证明、、三点共线。
解：因为
所以 即，共线，为公共点，故、、三点共线。
26．设有两个力，和，同时作用于一个点上，试求它们的合力的大小和方向。
解设 于是
，
得：，
故其方向余弦为
，，
从而方向角为：，，。
27．设向量的两个方向余弦为，，又，求的坐标。
解：因为，，故
。
由公式，
，
，
于是得或。
28．证明垂直于。
证：，故。
29．已知三点，，，且，，，求(1)与的夹角；(2)在上的射影。
解：，； ，；，；
可设，；
因而可得：(1)，所以；
(2)。
30．求出球面与旋转抛物面的交线。
解：两曲面的交线为，
将(2)代入(1)得，所以或，由(2)知，故取。因此交线方程为或。
这是在平面上圆心为半径为2的圆曲线。
31．求过点而与直线，平行的平面方程。
解：因为直线的方向向量，
直线的方向向量。
取 ，则通过点并以为法向量的平面方程即为所求的平面方程。
32．求点在平面上的投影。
解：从点作平面的垂线，则垂线的方向向量就是平面的法向量，所以垂线方程为
。
为求出垂足，将垂线方程化为参数方程，，，将其代入平面方程，得，求得垂足（即投影）的坐标为。
33．求点到直线的距离。
解一：因为已知直线的方向向量，
由平面的点法式方程得，过点且垂直于直线的平面方程为。
解方程组，得垂足的坐标，，，于是，即为所求的距离。
解二：在直线上任取点，以，为邻边的平行四边形的面积，点到直线的距离为，而，，于是，而，故。
34．设， ，为单位向量，且满足，求。
解：因为，所以。而
，
同理可知：；，
于是。

35．作出曲面与平面、三坐标面所围的立体，在第一卦限部分的立体图形。

36．求通过点且与两直线：，：都相交的直线方程。
解：设所求直线的方向向量为则所求直线：，因为与、都相交，而过，方向向量为，过，方向向量，所以有
，即，
，即。
由上两式得，显然有，即，，，所以所求直线的方程为。
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