北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题.doc

海淀区高二年级第一学期期末练习 数学（理科）2014.01学校 班级 姓名 成绩 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线的准线方程是 ( )（A） （B） （C） （D）（2）若直线与直线平行，则实数 ( )（A） （B） （C） （D）OABCP（3）在四面体中，点为棱的中点. 设, ，那么向量用基底可表示为（ ）（A） （B）（C） （D） （4）已知直线，平面.则“”是“直线，”的 （ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）（6）已知命题椭圆的离心率，命题与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）（A）是真命题 （B）是真命题 （C）是真命题 （D）是假命题（7）若焦距为的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ）（A） （B） （C） （D） （8）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点则下列命题中假命题是 （ ）（A）存在点，使得/平面（B）存在点，使得平面（C）对于任意的点，平面平面（D）对于任意的点，四棱锥的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知，.若，则 . （10）过点且与圆相切的直线方程是 . （11）已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点. 若是等腰三角形，则 . （12）已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . （13）如图所示，已知点是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是 . （14）曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于的点的轨迹.给出下列四个结论：曲线过坐标原点；曲线关于轴对称；曲线与轴有个交点；若点在曲线上，则的最小值为.其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共10分）在平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的正射影为点，且满足直线.（）求动点M的轨迹C的方程；（）当时，求直线的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆：，直线交椭圆于两点.（）求椭圆的焦点坐标及长轴长；（）求以线段为直径的圆的方程. (17)（本小题共11分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由(18)（本小题共12分）已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，.（）求椭圆的方程；（）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值. 海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 201401一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CDBADBC B二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9） （10） （11）或（12） （13） （14）注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分10分）解：（）设，则，.2分因为 直线，所以 ，即. 4分所以 动点的轨迹C的方程为（）. 5分（）当时，因为 ，所以 .所以 直线的倾斜角为或. 当直线的倾斜角为时，直线的方程为； 8分当直线的倾斜角为时，直线的方程为. 10分（16）（本小题满分11分）解：（）原方程等价于. 由方程可知：，. 3分所以 椭圆的焦点坐标为，长轴长为.5分（）由可得:.解得：或. 所以 点的坐标分别为，. 7分所以 中点坐标为，. 9分所以 以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为.所以 以线段为直径的圆的方程为. 11分（17）（本小题满分11分）（）证明：在正方形中，.因为，所以 平面 1分因为 平面，所以 2分同理，因为 ， 所以 平面 3分（）解：连接，由（）知平面因为 平面，所以 4分因为 ，所以 分别以，所在的直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：， 所以 ， 设平面的一个法向量， 则 即 令，得.所以 同理可求：平面的一个法向量 6分 所以 所以 二面角的余弦值为 8分（）存在理由如下： 若棱上存在点满足条件，设， 所以 9分 因为 平面的一个法向量为 所以 令 解得：. 经检验 所以 棱上存在点，使直线与平面所成的角是，此时的长为 11分 （18）（本小题满分12分）解：（）由知，和不在椭圆上，即椭圆经过，.于是.所以 椭圆的方程为：. 2分（）当时，设直线，由得.设，则，所以.于是，此时，所以 直线.因为，故线段与轴相交于，即原点在线段的延长线上，即原点在的外部，符合题设. 6分所以 .当时取到最大值. 9分当时，不妨设.设直线，由得.所以 或.所以，由，可得直线. 由得.所以 . 所以 线段与轴相交于.显然原点在线段上，即原点在的内部，不符合题设.综上所述，所求的面积的最大值为. 12分注：对于其它正确解法，相应给分.9