正余弦函数的图像与性质.doc

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正余弦函数的图像与性质

例题1。值域最值：
三角函数最值问题的解题技巧
三角函数的最值问题,是三角函数基础知识的综合应用,它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起,该问题综合性强，解题方法也多样化.解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现，有一定的难度，要注意灵活选用方法.下面介绍解三角函数最值问题的常见方法.
1、形如型的函数的最值
例题:1)求函数的最值及取得最值时自变量的集合
2）函数的值域是____
练习:1)求函数的最值，并求出相应自变量的取值范围
2）已知函数,若,求函数的最值以及相应自变量的值.
2、形如型的函数的最值。
　　 例题： 1）求函数的最值
2）已知，,设函数＝·.若，求的最大值、最小值并求出对应的值
3) 当A.最大值为1，最小值为—1
B.最大值为1，最小值为 C.最大值为2,最小值为 D.最大值为2,最小值为
4)已知函数,若不等式在上恒成立.求的取值范围.
2、形如型的函数的最值。
　　这类问题最后化为二次函数的三角最值问题，利用三角函数的有界性,并结合二次函数的性质求得结论.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值,并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得.
例题：求函数，的最值.

练习:1）函数的最值
2)求函数在区间上的最小值.
3）求函数的最值。
4)已知函数。求的最大值和最小值。
3、含有的函数的最值问题。
通常方法是换元法:令，将转化为的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题。但要注意换元后变量的取值范围。
　 例题：求函数的最大值。
练习:函数的值域为______________。
由以上几种形式，可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法：一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法;三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决。
4、形如或（了解内容)
例题：求函数的最值
练习:1）求函数的最值2）求函数的最值
说明: 此类问题还可以利用函数表达式的特点，应用数形结合思想使求函数最值的问题转化为求过某个定点与动点的直线斜率的最值问题。
例题2。周期性

练习：(1)函数的图像相邻两条对称轴之间的距离等于,求的值.
（2）直线与函数的图像相邻两交点之间的距离等于，求的值和周期.
（3）已知函数,若对任意都有成立，且的最小值为，求的值
(4)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合,则的最小值等于
(A） （B）3 （C)6 (D）9
【答案】:C
【命题意图】：本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。
【解析】：由题意知为函数周期的正整数倍，所以,故的最小值等于6。

例题3.单调性
例题:1、求函数的单调增区间(或在区间上的单增区间）.
2、、、均为锐角，若，，，则、、的大小顺序是（ ）A。 B。 C. D。
练习：(1）求函数的单调增区间.
(2）比较，的大小
例题4。 对称性
1)函数的图象的一条对称轴的方程是______
A 　　　B 　　　　C 　　　 D
2）设函数的一条对称轴是直线。求得值；
练习：1)下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是（ ）。
A。 B. C. D.
3)以下命题中,正确命题的序号是：
①函数 不是周期函数 ②函数在定义域内是增函数
③函数是偶函数 ④函数的图像关于成轴对称
函数的图像
一、图像变换的基本知识点
（1)平移变换:
①左右平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到.
②上下平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到.
（2）对称变换：
①函数的图像与函数的图像关于y轴对称。
②函数的图像与函数的图像关于x轴对称。
(3）翻折变换:
①函数的图像可以将函数图像的x轴下方部分沿轴翻折到x轴上方，去掉原轴下方部分,并保留的x轴上方部分即可得到。
②函数的图像可以将函数图像的轴右边部分沿轴翻折到y轴左边，替代原轴左边部分,并保留在y轴右边部分即可得到。
（4）伸缩变换：
①函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变,纵坐标伸长或缩短(）为原来的a倍得到。
②函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变,横坐标伸长或缩短（)为原来的倍得到。
一、画图
例题。用五点作图法画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的大致图像（简图)

（详见课本53页例1）
例题:把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变,再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为
A. B。 C. D.
练习:(1)若函数的图像向左平移个单位所对应的函数为偶函数,求最小正实数的值.
(2)为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移
二、识图: 知图索式与知式索图
例: 函数，,的部分图象如图所示，则
A。 B。 C. D。

练习：1) 已知函数的图象（部分)如上右图所示。（1)求的解析式;(2)若,求函数的值域.
2）已知是实数，则函数的图象不可能是 (

3)已知函数(），的部分图像如下左图,则
A。 B。 C。 D。

4)的部分图象如上右图所示，则函数表达式为
A. B.
C。 D.
三、用图
例题：已知函数，设,且方程有两个不同的实数根,求实数的取值范围和这两个根的和．
练习：1）定义运算,则函数的最小值是（ )
A.；B。 ；C。；D。

2）方程的根有 个.（ 、)
3）方程在上有两个解，求实数的取值范围。
4)求函数的周期
三角函数图像和性质习题
例题1：已知函数
（I）求函数的最小正周期和单调增区间;
（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到?
例题2：已知函数,(1）当取最大值时，求自变量的集合;
（2）若，求该函数的值域。
例题3：已知函数，.
（I)设是函数图象的一条对称轴,求的值。
(II)求函数的单调递增区间.
例题4：课本147页9、10、11、12
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