浙江省宁波市2014届高三第二次模拟考试数学理试题.doc

浙江省宁波市2014届高三第二次模拟考试数学理试题（Word版）

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页， 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
柱体的体积公式:
(其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高）
锥体的体积公式：
（其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高）
球的表面积公式：S=4πR2
球的体积公式:（其中R表示球的半径）
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B）=P(A）+P（B）
如果事件A，B相互独立,那么
P(A·B)=P(A）·P(B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 Pn（k)=pk（1—p）n—k  （k=0,1,2，…，n)
台体的体积公式：
V=
（其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,
h表示台体的高）

第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
开始
p＝1，n＝1
n＝n＋1
p>20 ?
输出n
结束
(第4题图)
是
否
p=p+2n-1

1．设集合M=｛x|}，N={x ｜ x2 ≤ x｝，则M∩N =
（A） （B）
（C） （D）
2．设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是
（A）（-a)7＜(-a)9 （B）b- 9＜b- 7
（C） （D）
3．已知，，则=
（A） （B) (C) （D）
4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是
（A）3 （B）4 (C）5 （D）6
5．设是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（A）若且，则
（第6题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1
（B)若且，则
（C）若且,则
（D）若且，则
6．已知某锥体的三视图(单位：cm ）
如图所示，则该锥体的体积为
（A)2 （B）4
(C)6 （D）8
7．的展开式的常数项是
（A)48 （B）﹣48 （C)112 （D）﹣112
8．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等,则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是
（A） （B） （C） （D）
9．已知实系数二次函数和的图像均是开口向上的抛物线，且和均有两个不同的零点．则“和恰有一个共同的零点”是“有两个不同的零点”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C)充分必要条件 (D）既不充分也不必要条件
10．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行)
（A)1个 （B）2个 (C）3个 （D）4个

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）
二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分， 共28分．
11．已知复数z满足= i(其中i是虚数单位），则 ▲ ．
12．设,其中实数满足且,则的取值范围是 ▲ ．
13．已知抛物线上两点的横坐标恰是方程的两个实根，则直线的方程是 ▲ ．

14．口袋中装有大小质地都相同、编号为1,2,3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为，则随机变量的数学期望是
▲ ．
15．已知直线及直线截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积
是 ▲ ．
16．在△ABC中,∠C=90°,点M满足，则sin∠BAM的最大值是 ▲ ．
17．已知点O是△ABC的外接圆圆心,且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y,使得，且，则∠BAC = ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题,共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分） 在中，内角的对边分别为，且
，．
(I)求角的大小；（II)设边的中点为，，求的面积．
19．(本小题满分14分）设等差数列的前n项和为，且．
数列的前n项和为，且，．
(I）求数列，的通项公式；
（II）设， 求数列的前项和．
20．(本题满分15分）如图所示，⊥平面,
P
A
B
C
D
M
（第20题图）
△为等边三角形，，⊥,
为中点．
（I）证明:∥平面；
（II）若与平面所成角的正切值
为，求二面角--的正切值．

O
F
A
C
B
D
x
y
（第21题图）
21．(本题满分15分)已知椭圆Γ：的离心率为，其右焦点与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线交于点，其斜率满足．设交椭圆Γ于A、C两点，交椭圆Γ于B、D两点．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）写出线段的长关于的函
数表达式，并求四边形面积
的最大值．

22．（本题满分14分）已知,函数，其中．
（Ⅰ）当时,求的最小值；
Ⅱ）在函数的图像上取点 ，记线段PnPn+1的斜率为kn ，
．对任意正整数n，试证明：
(ⅰ); （ⅱ）．

宁波市2014年高考模拟试卷
数学（理科）参考答案

说明:
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．
二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分．
1．C　　2．D　　3．A　　4．C　　5． B　
6．A　　7．B　　8．D　　9．D　　10．B

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．
11．2 12．［21，31] 13． 14．
15． 16． 17．

三、解答题:本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分)
解：（Ⅰ)由，得， ……………………1分
又，代入得，
由，得, ……………………3分
， ………5分
得， ……………………7分
(Ⅱ)， ……………………9分
，,则 ……………………11分
……………………14分

（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ)由题意，，得． …………3分
，，
，两式相减，得
数列为等比数列,． …………7分
（Ⅱ） ．
当为偶数时，

=． ……………10分
当为奇数时,
（法一）为偶数，
……………13分
（法二）
． ……………13分
……………14分

20．（本题满分15分）
解:（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．
依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD． …………3分
又因为BMË平面PCD,CDÌ平面PCD，所以BM∥平面PCD． …………5分

P
A
B
C
D
M
（第20题图）
F
E
（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，
所以CD⊥平面PAC，故PD与平面
PAC所成的角即为∠CPD．
……………7分
不妨设PA=AB=1,则PC=．
由于,
所以CD=．……………9分

(方法一）
在等腰Rt△PAC中,过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F．因为ME⊥PC,ME⊥CD,所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．
又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C-PD—M的平面角． ……………12分
易知PE=3EC,ME=，EF=，

P
A
B
C
D
M
（第20题图）
x
y
z
所以tan∠EFM=，
即二面角C—PD-M的正切值是．
……………15分
(方法二)
以A点为坐标原点,AC为x轴，建立
如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则P（0,0,1),
M（），C（1,0，0)，D．
则，,．
若设和分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．
由，可取． ………12分
所以，
故二面角C-PD—M的余弦值是，其正切值是． ……………15分
21．（本题满分15分)
解:(Ⅰ)设右焦点（其中），

依题意，,所以． ……………3分
所以,故椭圆Γ的方程是． ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ)知,F（1,0）．将通过焦点F的直线方程代入椭圆Γ的方程，可得，
其判别式．
特别地，对于直线,若设，则

,。 ………………10分
又设，由于B、D位于直线的异侧，
所以与异号．因此B、D到直线的距离之和

．
………12分
综合可得,四边形ABCD的面积．
因为，所以,于是

当时，单调递减，所以当，即时，
四边形ABCD的面积取得最大值． ……………15分
22．（本题满分14分)
解：（Ⅰ）时， ，求导可得
……………3分
所以，在单调递增，故的最小值是．…………5分

(Ⅱ)依题意,． ……………6分
（ⅰ)由（Ⅰ）可知，若取，则当时，即．
于是 ,即知．…………8分
所以 ． ……………9分
（ⅱ）取，则，求导可得

当时，，故在单调递减．
所以，时,，即．……………12分
注意到,对任意正整数，，于是
，即知． ……………13分
所以 ． ……………14分