金沙三中陈相飞教学设计.doc

椭圆定义及其标准方程
（金沙县逸夫中学 陈相飞）

一、教学内容分析
本课选自《普通高学课程标准实验教科书（选修2—1)数学》（北师大版)，第三章1。1节。本节教材主要内容是使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用；使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程及其轨迹,本节对椭圆定义与轨迹的研究,和圆的定义与轨迹相呼应，学生学习了圆的定义之后，已初步具备了探讨椭圆定义的本质这个问题的能力，通过探究,使学生从感性认识逐步上升到理性认识，形成对椭圆这一概念本质的理解，从而进一步让学生体验 “用方程研究曲线”这一基本思想，体现了数学的和谐之美,符合认知的渐进原则。
二、学生学习情况分析
我校是省级重点普通高级中学，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好,有强烈的求知欲,具备一定的分析、观察等能力。在此之前,学生已经熟练掌握圆的定义及轨迹，二次函数的图象等内容，迫切想了解更多曲线本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。
三、设计思想
为了培养不仅能“学会"知识,而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣;围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆概念的形成”和“椭圆的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人,不断完善自己的知识体系,提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐,体验成功的喜悦。
四、教学目标
1．使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用；
2、掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程及其轨迹，
3、掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想，提高分析问题的能力。
4．营造亲切、和谐的氛围，以“趣"激学.引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题,培养学生的创新意识,体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识,认识数学的应用价值.
五、教学重点和难点
教学重点: 椭圆的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系和对
方程的讨论选择突出重点.
教学难点:椭圆概念的形成。通过椭圆的画法设计,标准方程与圆的比较突破难点。
六、教学过程设计

中国第一颗人造地球卫星“东方红一号” 太阳系行星运行轨道

生活中的玻璃餐桌 椭圆是由圆压扁得到的吗?
一． 设置情景，导入新课
（借助多媒体）先给出一张“东方红一号"的图片
师：中国自主研究的人造地球卫星是我们中国人的骄傲，同学们你们通过努力学习，一定可以为中国创造更多的骄傲,对吗?
生：对！
生：当然可以！
生：为中华民族崛起而努力！
师:对！大家都很有信心，我相信你们有一天可以做到的,今天我们就着手研究卫星运行的轨道——-—椭圆.( 给出另外三张图片，让学生简要讨论图片内容.)
【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引,学习的热情高涨.
【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。
二．引导探究，获得新知
师：在高一我们已经学过圆的定义和方程及圆的轨迹，那么，我们看到第四张图片,椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有没有关系吗？
生:不是!
生：是！
师：它和圆有没有关系吗？
生：有关系.
生:没有关系.
y
o
F
F
M
x
师：为了解决这两个问题,先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如下图),当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．我们来看一看椭圆和圆的画法。（找2个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆，之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程)

【学情预设】学生认真观察图象的变化。
【设计意图】不仅回顾了圆的相关内容，体验了椭圆的画法，而且为归纳出 椭圆的定义打下基础。
师:这椭圆是怎么画出来的啊！（课堂顿时一片寂静）
师：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?（可以提问,也可以集体回答.）
生：F1、F2点固定，是定点。
师：对！还有什么条件吗？
生：MF1+MF2就是细绳的长度。
师:太对了，而细绳的长度是固定的，也就是说MF1+MF2 是个定长。同学们归纳的很正确,那么这里面有没有隐含着什么呢？
生：…………
师:我们来看, F1、F2、M三个点是构成一个三角形的…… （有学生说出应满足的结论)
生：MF1+MF2大于F1F2的长度。
师：回答得很好!你们根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生概括椭圆的定义）
生：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆．
师：对,椭圆的定义就是: 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距。下面我们来看看, MF1+MF2小于等于F1F2的长度时,M点的轨迹是什么情况呢?(学生思考）
生:若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；
生：应该有两种情况: 若常数=|F1F2|，则是线段F1F2;若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；
师：也就是说: 若常数=｜F1F2｜，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于｜F1F2|”．（强调MF1+MF2是定长但是大于|F1F2｜）
【学情预设】学生间合作交流，完成对椭圆定义的归纳.
【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力.
三．深入探索，推导方程
师：接下来你们试试推导椭圆的方程？(简单回顾求圆方程的方法和步骤：
(1） 建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2)写出适合条件 P（M） ;
（3）用坐标表示条件P(M），列出方程 ；
（4)化方程为最简形式；
师：第一步,该如何建立坐标系呢?（学生会说出不同的方案，选取下列方案）
生：以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。(老师在黑板上画出适当的图(如下图）

y
o
F
F
M
x
o
F
y
x
2
F
M

（方案一) （方案二）
师:这样建系很合理.建立坐标系后F1、F2的坐标分别是， 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。）
生:|MF1｜+|MF2｜=a
师：为了后面化简方便,我们这里把定长定为2a。下面列出方程.
生:,,得方程:

师:最后化简方程, 化方程为最简形式;（一段时间后，投影仪展示化简的过程：
① 原方程要移项平方、整理得
上式两边平方、整理得，。
因为,所以可化为:
②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要讲。因为，所以令，其中b>0，代入上式，得 （)
这说明椭圆上点的坐标满足以上方程，关于证明所得的方程是椭圆方程，可参考课本62页的证明，根据情况也可从略．）
师：因此，我们将方程()叫作椭圆的标准方程,焦点坐标，其中.
师：那么象方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢?
生:只需要将互换就可以了,应写成同样有。
师：很好，今天我们学习了椭圆的定义以及如何推导出椭圆的标准方程.
四.指导应用，鼓励创新
师:我们假设地球是个球体,半径是6371千米,而且知道“东方红一号”的近地点：430千米; 远地点:2075千米,你们能建个坐标系,求出“东方红一号"运行轨道的标准方程吗？这个问题留给同学们课后完成。
【学情预设】当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引导下，利用掌握的相关知识解决了实际生活问题。
【设计意图】设计一道卫星运行轨道轨迹的方程的例题，不仅与开头遥相呼应,而且可以巩固新知识,加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活。
师：现在我们来做2个练习（投影仪展示例题）
例1:已知B,C是2个定点， ，且的周长等于22，求顶点A满足的一个轨迹方程。
例2:下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是（ )　　　　　　　　　　　　
A。 与 B。 与
C。 与 D。 与
五．小结概括，深化认识
师：今天我们学习了什么内容?
生： 利用几何知识画出了椭圆.
生： 知道了椭圆的定义和标准方程，知道了标准方程中的代数关系.
定
义
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2|)的点的轨迹．
标准
方程
(）

图

形
1
2
y
o
F
F
M
x

1
o
F
y
x
2
F
M

焦点坐标

c之间的关系

师:这是知识方面的。我们还学到了哪些数学思想方法?
生:观察归纳;
生：类比的方法；
生：数形结合思想;
师：很好！今天我们学习的内容虽然不多，但是从知识、能力、思想与应用等方面都理解和体验了数学的奥秘！也可以看出,如果我们做生活的有心人,就会发现数学与生活实际是密切相连的。
【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获。
【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结,加深对本节课内容的认识。
六．布置作业
1。课本68页，习题3-1:第1、4题
2.如何用几何图形解释，C在椭圆中分别表示哪些线段的长?
板书设计
椭圆及其标准方程
1。椭圆的定义
2。椭圆的标准方程
3.标准方程的应用
4。小结
标准方程推导过程
例题
七、教学反思
在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。为了突破本节课的难点——椭圆概念的形成，在教学设计中，注重设计三个活动:第一个活动让学生感受亲手画出椭圆的过程,并培养学习的信心；第二个活动中将圆与椭圆两种曲线进行比较，为学生的自主探究活动提供了实物载体，并能体会成功带来的喜悦；第三个活动中，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台,三个活动有机结合，协调发挥作用,不仅使学生加深了对椭圆概念的理解，而且使课堂更加紧凑有序。为了突出本节课的重点，将圆与椭圆两种曲线进行比较，使学生通过变换坐标系的建立，逐步理解和掌握建系求曲线方程的步骤,强化学生求曲线方程的基本功。总之,在“以学生发展为核心”的理念和我校的教学模式下,要在每个阶段的教学中都必须精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间.