“双勾函数”性质及应用.doc

“双勾函数”的性质及应用
问题引入：求函数的最小值．
问题分析：将问题采用分离常数法处理得，，此时如果利用均值不等式，即，等式成立的条件为，而显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值不是，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．
一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质
1．“双勾函数”的定义
我们把形如（为常数，）的函数称为“双勾函数”．因为函数（为常数，）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．
2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像

二次函数图像

“双勾函数”图像

3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质
（1）“二次函数”的性质
①当时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 ．
②当时，在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．
（2）“双勾函数”性质的探究
①当时，在左侧，随着的增大而减小；在的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 ．
②当时，在的左侧，随着的增大而增大；在的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．
综上知，函数在和上单调递增，在和上单调递减．
下面对“双勾函数”的性质作一证明．
证明：定义法．设R，且，则
．
以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？
首先，∴就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令，可得到，因此又找到两个分界点，．这样就把的定义域分为，，，四个区间，再讨论它的单调性．
设，则，，，
∴．
∴，即．
∴在上单调递减．
同理可得，在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减．
故函数在和上单调递增，在和上单调递减．
性质启发：由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．
4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比
（1）“二次函数”的区间最值
设，求在上的最大值与最小值．
分析：将配方，得对称轴方程，
①当时，抛物线开口向上．
若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．
②当时，抛物线开口向下．
若必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．
以上，作图可得结论．
①当时，
；
．

图1

图2

图3

图4

图5

②当时，
；
．

图6

图7

图8

图9

图10

（2）“双勾函数”的区间最值
设，求在上的最大值与最小值．
分析：①当时，其图像为第一象限部分．
若，则函数必在界点处取得最小值，最大值需比较两个端点处的函数值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．
②当时，其图像为第三象限部分．
若，则函数必在界点处取得最大值，最小值需比较两个端点处的函数值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．
以上，作图可得结论．
①当时，

图11
图12
图13

②当时，

图14

图15

图16

二、实践平台
例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在吨至吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为
．问：
（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；
（2）每吨平均出厂价为万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．
分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．
解：（1）由题意可知，每吨平均成本为万元．
即，因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数．
所以当时，函数有最小值为（万元），
所以当年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为万元．
（2）设年获得总利润为万元，
则，
当，，
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元．
评注：本题的关键是用年产量吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．
例2甲、乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过km/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为，固定部分为元．
（1）把全程运输成本（元）表示为(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶．
分析：要计算全程的运输成本()，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本()，所要解决的问题是求何时取最小值，显然要对的大小进行讨论，讨论的标准也就是与的大小．
解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，因此全程运输成本为，又据题意，故所求函数及其定义域分别为：
，．
（2）设，
∴在上是减函数，在上是增函数．
①若，结合“双勾函数”的性质知，
当时运输成本最小．
②若，函数在上单调递减，所以当时，全程运输成本最小． 　
评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．
例3（2006安徽高考）已知函数在R上有定义，对任意实数和任意实数，都有．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明其中和均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的，设，讨论在内的单调性并求最值．
分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．
证明：（Ⅰ）令，则，∵，∴．
（Ⅱ）①令，∵，∴，则．
假设时，R），则，而，∴，即成立．
②令，∵，∴，
假设时，，则，而，
∴，即成立．∴成立．
（Ⅲ）当时，，
由“双勾函数”性质知在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，．
评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．
例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为cm，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留cm空白，左、右各留cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?
分析：设定变元，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．
解：设画面高为cm，宽为cm，则
设纸张面积为cm，则有
,
将代入上式得,,
令，则，
函数在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取最小值，
此时，高：cm，宽：cm．
如果，则，
所以函数在上为增函数，故当时，取最小值，此时．
评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画． 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．
在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．

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