专题一-阿基米德三角形的性质.doc

完整版)专题一 阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 .

阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边,M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。

性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C,则另一顶点Q的轨迹为 。

性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹 。

性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点 。

性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 。

性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为抛物线的 ，且阿基米德三角形的面积的最小值为 .

性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。

性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合）,过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在 上。

性质9 AF|·|BF|=｜QF｜2.

性质10 QM的中点P在抛物线上,且P处的切线与AB 。

性质11 在性质8中,连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的 倍.

高考题中的阿基米德三角形

O
A
B
P
F

例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1）求△APB的重心G的轨迹方程。
（2）证明∠PFA=∠PFB。
解:（1）设切点A、B坐标分别为，
∴切线AP的方程为：

切线BP的方程为：
解得P点的坐标为:
所以△APB的重心G的坐标为 ,

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1:因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB。
方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当时,直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，
同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB

例2 （2006全国卷Ⅱ,理21题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为Ｍ．
(Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
解:（Ⅰ）由已知条件,得F(0，1），λ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ,
即得　　（－x1，1－y）＝λ(x2，y2－1)，

将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4,
抛物线方程为y＝x2,求导得y′＝x．
所以过抛物线上AB两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12,y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(,)＝（，－1）． ……4分
所以·＝（，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝（x22－x12)－2（x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0．　　　……7分
（Ⅱ)由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝｜AB||FM｜．
|FM|＝＝
＝ ＝＝＋．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB|＝｜AF｜＋｜BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝（＋)2．
于是　　S＝|AB｜｜FM｜＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4,且当λ＝1时，S取得最小值4．

例3(2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，
（1）若,求的值；（5分）
（2)若为线段的中点,求证:为此抛物线的切线;（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立?说明理由。（4分）
解:（1）设过C点的直线为,所以，即，设A,=，，因为,所以
,即，
所以，即所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M，所以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立,由（2）可知Q,因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。

例4(2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．
（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列;
（Ⅱ)已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程;
（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上,其中，点满足(为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标;若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ)证明：由题意设．
由得,得，
所以，．
因此直线的方程为，直线的方程为．
所以,① ．②
由①、②得，
因此，即．
所以三点的横坐标成等差数列．
(Ⅱ)解:由（Ⅰ）知，当时，
将其代入①、②并整理得：
, ，
所以是方程的两根，
因此,，
又，所以．
由弦长公式得．
又,所以或，
因此所求抛物线方程为或．
（Ⅲ）解：设，由题意得，
则的中点坐标为，
设直线的方程为，
由点在直线上，并注意到点也在直线上,代入得．
若在抛物线上,则，
因此或．即或．
（1）当时，则，此时，点适合题意．
(2）当，对于，此时，，
又，，所以，
即,矛盾．
对于，因为,此时直线平行于轴，
又,所以直线与直线不垂直，与题设矛盾,
所以时，不存在符合题意的点．
综上所述，仅存在一点适合题意．

例5（2008江西卷,理21题）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点（,0）．
(1）过点作直线的垂线,垂足为,试求△的重心所在的曲线方程；
（2）求证：三点共线．

证明：(1)设，由已知得到，且,，
设切线的方程为：由得

从而,
解得
因此的方程为: 同理的方程为:
又在上，所以，
即点都在直线上
又也在直线上,所以三点共线
(2）垂线的方程为:，
由得垂足，
设重心
所以 解得
由 可得即为重心所在曲线方程。

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