数学物理方程公式小结.doc

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无限长弦的一般强迫振动定解问题
解
三维空间的自由振动的波动方程定解问题
在球坐标变换
（r=at)
无界三维空间自由振动的泊松公式

二维空间的自由振动的波动方程定解问题

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傅立叶变换

基本性质
线性性质
微分性质

若则

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拉普拉斯变换

基本性质

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三个格林公式
高斯公式：设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成,函数P，Q，R在V上具有一阶连续偏导数，则：
或

第一格林公式:设u(x，y，z）,V(x，y,z）在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导,则：
第二格林公式:设u（x,y，z),V（x，y，z)在SŲSV上有一阶连续偏导数它们在V中有二阶偏导,则：

第三格林公式
设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0， u(x,y，z）满足第一格林公式条件,则有：

定理1：泊松方程洛平问题 的解为：
推论1：拉氏方程洛平问题 的解为：
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调和函数
1、定义：如果函数u(x，y,z)满足:（1） 在具有二阶连续偏导数；(2) 称u为V上的调和函数。
2、调和函数的性质。
性质1 设 u(x，y，z） 是区域 V 上的调和函数,则有
推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解)有解的充分必要条件是：
性质2 设u(x，y，z) 是区域V上的调和函数，则有 :
性质3 ： 设u（x，y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即：
其中SR是以M0为球心，R为半径的球面
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三维空间中狄氏问题格林函数
泊松方程狄氏问题为:
其中:
如果G（M，M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理
定理:泊松方程狄氏解为：
其中G（M,M0)满足:
推论：拉氏方程狄氏解为：
平面中的三个格林公式
首先证明一个定理: 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且f(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：
（1) 第一格林公式
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,且u（x，y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向。
(2) 第二格林公式
（3) 第三格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u（x，y）在D上有二阶连续偏导数,n为曲线的外法线方向,令：
定理：平面泊松方程洛平问题 的解为：

推论：平面拉氏方程洛平问题 的解为：
定理:平面泊松方程狄氏问题的解为：
推论：平面拉氏方程狄氏解为：
平面狄氏格林函数
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特殊区域上狄氏问题格林函数
1．球形域内狄氏问题格林函数
格林函数为： 其中：
球域内狄式问题的解
其中：
球域上狄氏问题的解的球坐标表达式
所以：
2．上半空间狄氏问题的Green函数

所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
3．上半平面狄氏问题的Green函数
，
上半平面上泊松方程狄氏解
上半平面上拉氏方程狄氏解
4．圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN函数
，
圆域上泊松与拉氏方程狄氏解
5．第一象限上狄氏问题的Green函数
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三种典型方程的基本解问题
1． 泊松方程的基本解
方程的解称为泊松方程的基本解。
三维空间泊松方程的基本解
平面泊松方程基本解为： 特解应该为基本解与函数f的卷积
2．热传导方程柯西问题基本解
定解问题:的解，称为定解问题的基本解。
基本解为: 定解为基本解与初始函数的卷积
3．热传导方程混合问题基本解
定解问题的解称为定解问题的基本解

定解与基本解的关系为
4．波动方程柯西问题基本解
定解问题的解称为定解问题的基本解
基本解为：
定解与基本解的关系为:
贝塞尔函数
》
》

正、负n阶第一类贝塞尔函数

第二类Bessel函数
Bessel函数的母函数
当x为实数时可得,
Bessel函数的积分表达式
当n为整数时：
贝塞尔函数的递推公式

n 阶整数阶贝塞尔函数有：
贝塞尔函数的正交性 贝塞尔函数系

定义：定积分：称为贝塞尔函数的模.
2、贝塞尔级数展开定理：设在区间［0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则f（x）在（0，R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值
其中
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勒让德方程
考虑球域内拉氏方程定解问题
在球坐标系下
勒让德方程
令， 取m=0时得
勒让德多项式
当n为正偶数时
当n为正奇数时
n次第一类勒让德多项式

勒让德多项式的罗得利克公式
勒让德多项式的积分表达式
勒让德多项式的母函数
勒让德多项式的递推公式(重点） (n=1,2，3….. ）

勒让德多项式正交性定理
勒让德多项式展开定理：若 且：f ‘'(x)在[—1,1］上分段连续,则在[-1，1］上可以展开为绝
对且一致收敛的级数： 其中
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牛顿二项式展开式
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泰勒级数