1、第三章 多维随机变量及其分布
一.教学内容:
二维随机变量及其联合概率分布，二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布，二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度，常见二维随机变量的联合分布. 随机变量独立性. 二维随机变量的函数的概率分布.
二.教学重点:
理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念及性质(两中基本形式): 离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度. 会利用二维概率分布求有关事件的概率.
了解二维随机变量的边缘分布，理解随机变量独立性的定义，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算. 会求两个独立随机变量的简单函数的分布关系.
2、 了解二维均匀分布和二维正态分布.
§3.1 二维随机变量
1.设是二维随机变量，对于任意实数，，称
为二维随机变量的分布函数，或称随机变量和的联合分布函数.
2.落在矩形域
的概率为
.
3.分布函数的性质:
①是和的不减函数.
②，且
，，
，.
③，
，
即关于是右连续，关于也是右连续.
4.二维离散型随机变量的分布律(随机变量和的联合分布律):
，或
… …
5.二维离散型随机变量分布律的性质:
①.
②.
例1.随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地
3、取一个值，随机变量在中等可能地取一个值. 试求的分布率.
解: .
当时，
.
当时，
.
6.设是随机变量和的联合分布函数，如果存在非负函数使得
，
则称是连续型的二维随机变量，称为二维随机变量的概率密度(随机变量和的联合概率密度).
7.概率密度的性质:
①.
②
.
③设是平面上的区域，点落在内的概率为
.
④若在点连续，则
.
例2.设随机变量的概率密度为
①求常数.
②求其分布函数.
4、
③求.
解: ①一方面，
.
另一方面，
，
所以，得.
②
③
.
§3.2 边缘分布
1.边缘分布函数:
.
.
2.离散型随机变量的边缘分布律:
.
.
例1.从一个装有个红球、个白球和个蓝球的箱中,随机地抽取个球. 用和分别表示取出的红球数和白球数，试求:
①和的联合分布律.
②和的边缘分布律.
解: ，
其中. 规定时，.
3.连续型随机变量的边缘分布函数:
，
.
边缘概率密度:
，
.
例2.
5、设随机变量的密度函数为
求边缘概率密度.
解:
4.若
，
则
，.
§3.3 条件分布
1.若，则称
为在条件下的条件分布律.
若，则称
为在条件下的条件分布律.
例1.设离散型随机变量的分布律为
①求常数.
②求关于的条件分布律
解: ①一方面，
，
另一方面，，所以，得.
②.
，
.
2.设的概率密度为，边缘密度分别为和.
①若， 则称为在的条件下的条件概率密度，记为. 而称
为在条件下的条件分布
6、函数.
②若， 则称为在的条件下的条件概率密度，记为. 而称
为在条件下的条件分布函数.
§3.4 相互独立的随机变量
1.设及、分别是二维随机变量分布函数及边缘分布函数. 若
，
则称和是相互独立的.
2.①若是连续型随机变量，则 等价于.
②若是离散型随机变量，则 等价于
.
例1.设随机变量的密度函数为
试判别和的相互独立性.
解:
，
所以和相互独立.
例2. 设服从上的均匀分布，服从参数为的指数分布，且它们相互独立. 试写出随机变量的概率密度.
解:
由于和相互独立，所以
3.若
7、则和相互独立充要条件是.
§3.5 两个随机变量的函数的分布
1.的分布: 设 的概率密度为.
①
.
②当和相互独立时，
.
这两个公式称为卷积公式，记为，即
.
2.设，，
且和相互独立，则
.
3.设
，，
且和相互独立，则
.
4.设和相互独立，且
，，
则.
5.
及的分布: 设和相互独立，和的分布函数为和，和的分布函数为和.
.
.
第三章小结
二维随机变量的性质不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系. 随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一.
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