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立体几何证明基础题一解答题（共28小题）1如图，在三棱锥PABC中，PBBC，ACBC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB平面EFG；（2）求证：BCEG2如图，在三棱锥PABC中，PC底面ABC，ABBC，D，E分别是AB，PB的中点（1）求证DEPA（2）求证：DE平面PAC；（3）求证：ABPB3如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE且CE=AC=2BD，试在AE上确定一点M，使得DM平面ABC4如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2（）证明：BC平面AMN；（）求三棱锥NAMC的体积；（）在线段PD上是否存在一点E，使得NM平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由5如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE？证明你的结论6已知四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积7如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面ABCD，且ABC=（1）求证：BC平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1平面AB1C18如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（）求证：GF底面ABC；（）求证：AC平面EBC；（）求几何体ADEBC的体积V9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD|BC，PD底面ABCD，ADC=90，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点（）证明：PA平面BMQ；（）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离10已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，C=90，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，（1）证明：OD平面BB1C1C； （2）试证：BMAB111如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF面PAD12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（）A1C平面BDE；（）平面A1AC平面BDE13如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点（1）求证：PB平面AEC；（2）若PA平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC平面PCD14如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC15如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面边长AB=1，侧棱长AA1=2（）求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面积；（）证明：AC平面BDD1B116已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证：（1）C1O面AB1D1；（2）A1C面AB1D117如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：（1）E，F，D，B四点共面；（2）面AMN平面EFDB18如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P是DD1的中点求证：（1）直线BD1平面PAC（2）求异面直线PC与AA1所成的角平面PAC平面BDD119如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=CB=CC1=2，E是AB中点（）求证：AB1平面A1CE；（）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值20如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点求证：平面D1EF平面BDG21（文科）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN平面EFDB22如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点，求证：（1）EN平面PDC；（2）BC平面PEB；（3）平面PBC平面ADMN23如图，在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点（1）求证：DE平面PAC；（2）求证：ABPC24如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD=1，PA=PC=（1）求证：PD平面ABCD；（2）求证：平面PAC平面PBD25如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，A1A=AB=2（1）求证：AB1平面BC1D；（2）过点B作BEAC于点E，求证：直线BE平面AA1C1C（3）若四棱锥BAA1C1D的体积为3，求BC的长度26如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，点F为PC的中点（1）求证：PA平面BDF；（2）求证：PCBD27如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点（1）求证：AC1BD（2）求证：AC1平面BDE28已知空间四边形ABCD（如图所示），E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG=BC，CH=DC求证：E、F、G、H四点共面；三直线FH、EG、AC共点立体几何证明基础题参考答案与试题解析一解答题（共28小题）1如图，在三棱锥PABC中，PBBC，ACBC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB平面EFG；（2）求证：BCEG【分析】（1）推导出GFPB，由此能证明PB平面EFG（2）推导出EFBC，GFBC，从而BC平面EFG，由此能证明BCEG【解答】证明：（1）点F，G分别为BC，PC，的中点，GFPB，PB平面EFG，FG平面EFG，PB平面EFG（2）在三棱锥PABC中，PBBC，ACBC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，EFAC，GFPB，EFBC，GFBC，EFFG=F，BC平面EFG，EG平面EFG，BCEG【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题2如图，在三棱锥PABC中，PC底面ABC，ABBC，D，E分别是AB，PB的中点（1）求证DEPA（2）求证：DE平面PAC；（3）求证：ABPB【分析】（1）由D，E分别是AB，PB的中点，能证明DEPA（2）由PA平面PAC，DEPA，且DE平面PAC，能证明DE平面PAC（3）推导出ABPC，ABBC，得AB平面PBC，由此能证明ABPB【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DEPA （2）因为PA平面PAC，DEPA，且DE平面PAC，所以DE平面PAC（3）因为PC平面ABC，且AB平面ABC，所以ABPC又因为ABBC，且PCBC=C所以AB平面PBC又因为PB平面PBC，所以ABPB【点评】本题考查线线平行、线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题3如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE且CE=AC=2BD，试在AE上确定一点M，使得DM平面ABC【分析】AE中点为M，取AC中点为N，通过证明四边形MNBD是平行四边形得出DMBN，从而可得DM平面ABC【解答】解：取AE中点为M，取AC中点为N，连结MD，MN，NB，在ABC中，M，N分别是边AC，AE的中点，CE=2MN且MNCE，又CE=2BD且BDCE，MNBD且MN=BD，四边形BDMN是平行四边形DMBN，又BN平面ABC，DM平面ABC，DM平面ABC故M为AE的中点时，DM平面ABC【点评】本题考查了线面平行的判定，属于基础题4如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2（）证明：BC平面AMN；（）求三棱锥NAMC的体积；（）在线段PD上是否存在一点E，使得NM平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由【分析】（I）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，根据四边形是一个菱形，从菱形出发找到一条，再从PA平面ABCD，得到结论（II）要求三棱锥的体积，首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面，会使得计算简单一些，选择三角形AMC，做出底面面积，利用体积公式得到结果（III）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明，根据线面平行的判定定理，利用中位线确定线与线平行，得到结论【解答】解：（）证明：ABCD为菱形，AB=BC又ABC=60，AB=BC=AC，又M为BC中点，BCAM而PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC又PAAM=A，BC平面AMN（II）又PA底面ABCD，PA=2，AN=1三棱锥NAMC的体积SAMCAN=（III）存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，N，E分别为PA，PD中点，又在菱形ABCD中，即MCEN是平行四边形NMEC，又EC平面ACE，NM平面ACEMN平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM平面ACE，此时【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识点比较全面，重点突出，是一个好题5如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE？证明你的结论【分析】（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明【解答】解：（1）PA底面ABCD，PA为此四棱锥底面上的高V四棱锥PABCD=（2）连接AC交BD于O，连接OE四边形ABCD是正方形，AO=OC，又AE=EP，OEPC又PC平面BDE，OE平面BDEPC平面BDE（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE证明：四边形ABCD是正方形，BDACPA底面ABCD，PABD又PAAC=A，BD平面PACCE平面PACBDCE【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键6已知四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积【分析】（）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EFBG，再结合线面平行的判定定理得到EF面ABC；（）根据已知中ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC面ABC得到BGAC，DCBG，根据线面垂直的判定定理得到BG面ADC，则EF面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE面ACD；（）方法一：四棱锥四棱锥ABCDE分为两个三棱锥EABC和EADC，分别求出三棱锥EABC和EADC的体积，即可得到四棱锥ABCDE的体积方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO平面BCDE，即AO为VABCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥ABCDE的体积【解答】证明：（）取AC中点G，连接FG、BG，F，G分别是AD，AC的中点 FGCD，且FG=DC=1BECDFG与BE平行且相等EFBG EF面ABC，BG面ABCEF面ABC（4分）（）ABC为等边三角形BGAC又DC面ABC，BG面ABCDCBGBG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，BG面ADC （6分）EFBGEF面ADCEF面ADE，面ADE面ADC （8分）解：（）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥EABC和EADC（12分）方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AOBC，又CD平面ABC，CDAO，BCCD=C，AO平面BCDE，AO为VABCDE的高，【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键7如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面ABCD，且ABC=（1）求证：BC平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1平面AB1C1【分析】（1）根据BCB1C1，且B1C1平面AB1C1，BC平面AB1C1，依据线面平行的判定定理推断出BC平面AB1C1（2）平面A1ABB1平面ABCD，平面ABCD平面A1B1C1D1，推断出平面A1ABB1平面A1B1C1D1，又平面A1ABB1平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1C1B1，C1B1平面AB1C1，根据面面垂直的性质推断出平面A1ABB1平面AB1C1【解答】证明：（1）BCB1C1，且B1C1平面AB1C1，BC平面AB1C1，BC平面AB1C1（2）平面A1ABB1平面ABCD，平面ABCD平面A1B1C1D1，平面A1ABB1平面A1B1C1D1，平面A1ABB1平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1C1B1，C1B1平面AB1C1，平面A1ABB1平面AB1C1【点评】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理注重了对基础知识的考查8如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（）求证：GF底面ABC；（）求证：AC平面EBC；（）求几何体ADEBC的体积V【分析】（1）证法一：证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如取BE的中点H，连接HF、GH，根据中位线定理易证得：平面HGF平面ABC，进一步可得：GF平面ABC证法二：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可因为G、F分别是EC、BD的中点，故平移是可以通过构造特殊的四边形、三角形来实现证法三：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可因为G、F分别是EC、BD的中点，所以构造中位线是常用的找到平行直线的方法（2）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直或者平面与平面垂直去转化一下由第一问可知：GF平面ABC，而平面ABED平面ABC，所以BE平面ABC，所以BEAC；又由勾股定理可以证明：ACBC（3）解决棱锥、棱柱求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解；根据平面与平面垂直的性质定理可知：CN平面ABED，而ABED是边长为1的正方形，进一步即可以求得体积【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）G、F分别是EC和BD的中点HGBC，HFDE，（2分）又ADEB为正方形DEAB，从而HFABHF平面ABC，HG平面ABC，HFHG=H，平面HGF平面ABCGF平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）G、F分别是EC和BD的中点（2分）又ADEB为正方形BEAD，BE=ADGMNF且GM=NFMNFG为平行四边形GFMN，又MN平面ABC，GF平面ABC（5分）证法三：连接AE，ADEB为正方形，AEBD=F，且F是AE中点，（2分）GFAC，又AC平面ABC，GF平面ABC（5分）（）ADEB为正方形，EBAB，GF平面ABC（5分）又平面ABED平面ABC，BE平面ABC（7分）BEAC又CA2+CB2=AB2ACBC，BCBE=B，AC平面BCE（9分）（）连接CN，因为AC=BC，CNAB，（10分）又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED（11分）三角形ABC是等腰直角三角形，（12分）CABED是四棱锥，VCABED=（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD|BC，PD底面ABCD，ADC=90，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点（）证明：PA平面BMQ；（）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MNPA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为ADC=90，Q为AD的中点，所以N为AC的中点（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为PAC的中位线，故MNPA，又MN平面BMQ，所以PA平面BMQ（5分）（2）由（1）可知，PA平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ，取CD的中点K，连结MK，所以MKPD，（7分）又PD底面ABCD，所以MK底面ABCD又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，（10分）所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ=.，（11分）则点P到平面BMQ的距离d=（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离10已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，C=90，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，（1）证明：OD平面BB1C1C； （2）试证：BMAB1【分析】（1）连B1C利用中位线的性质推断出ODB1C，进而根据线面平行的判定定理证明出OD平面BB1C1C（2）先利用线面垂直的性质判断出CC1AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC平面BB1C1C，进而可知ACMB利用证明BCDB1BC，推断出CBM=BB1C，推断出BMB1C，最后利用线面垂直的判定定理证明出BM平面AB1C，进而可知BMAB1【解答】证明：（1）连B1C，O为AB1中点，D为AC中点，ODB1C，又B1C平面BB1C1C，OD平面BB1C1C，OD平面BB1C1C（2）连接B1C，直三棱柱ABCA1B1C1，CC1平面ABCAC平面ABC，CC1AC，又ACBC，CC1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C，BM平面BB1C1C，ACMB在RtBCM与RtB1BC中，=，BMCB1BC，CBM=BB1C，BB1C+B1BM=CBM+B1BM=90，BMB1C，AC，B1C平面AB1C，BMAB1C，AB1平面AB1C，BMAB1【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用证明线线平行和线线垂直是解题的关键11如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF面PAD【分析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF=CF，PG=DG，所以FGCD，且FG=CD又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点所以AECD，且AE=CD证得四边形EFGA是平行四边形，所以EFAG，由线面平行的判定定理即可得证【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG因为PF=CF，PG=DG，所以FGCD，且FG=CD又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点所以AECD，且AE=CD所以FGAE，且FG=AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EFAG又因为EF平面PAD，AG平面PAD，所以EF平面PAD【点评】本题考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（）A1C平面BDE；（）平面A1AC平面BDE【分析】（）连接AC交BD于O，连接EO，A1AC中利用中位线，得EOA1C再结合线面平行的判定定理，可得A1C平面BDE；（II）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到AA1BD再结合正方形的对角线互相垂直，得到ACBD，从而得到BD平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A1AC平面BDE【解答】证明：（）连接AC交BD于O，连接EO，E为AA1的中点，O为AC的中点EO为A1AC的中位线EOA1C又EO平面BDE，A1C平面BDEA1C平面BDE；（6分）（）AA1平面ABCD，BD平面ABCDAA1BD又四边形ABCD是正方形ACBD，AA1AC=A，AA1、AC平面A1ACBD平面A1AC又BD平面BDE平面A1AC平面BDE（12分）【点评】本题以正方体为例，要求我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了空间直线与平面的位置关系和平面与平面位置关系等知识点，属于基础题13如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点（1）求证：PB平面AEC；（2）若PA平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC平面PCD【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EOPB，即可证明PB平面AEC；（2）要证平面PDC平面AEC，需要证明CDAE，AEPD，即垂直平面AEC内的两条相交直线【解答】证明：（1）连接BD交AC于O点，连接EO，O为BD中点，E为PD中点，EOPB，又EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC（2）PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ADCD，且ADPA=A，CD平面PAD，又AE平面PAD，CDAEPA=AD，E为PD中点，AEPD又CDPD=D，AE平面PDC，又AE平面PAD，平面PDC平面AEC【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定定理，属于基础题14如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PAEO，进而根据线面平行的判定定理，得到PA平面BDE（2）根据线面垂直的定义，可由PO底面ABCD得到BDPO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD平面PAC【解答】证明（1）连接OE，在CAP中，CO=OA，CE=EP，PAEO，又PA平面BDE，EO平面BDE，PA平面BDE（2）PO底面ABCD，BD平面ABCD，BDPO又四边形ABCD是正方形，BDACACPO=O，AC，PO平面PACBD平面PAC【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键15如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面边长AB=1，侧棱长AA1=2（）求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面积；（）证明：AC平面BDD1B1【分析】（I）求出各面的面积即可得出表面积；（II）根据BB1平面ABCD可得ACBB1，根据正方形ABCD的性质可得ACBD，从而有AC平面BDD1B1【解答】解：（I）正四棱柱的表面积为112+124=10（II）连接AC，BD，B1D1，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，四边形ABCD是正方形，ACBD，又BD平面BDD1B1，BB1平面BDD1B1，BDBB1=B，AC平面BDD1B1【点评】本题考查了直棱柱的结构特征，线面垂直的判定，属于基础题16已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证：（1）C1O面AB1D1；（2）A1C面AB1D1【分析】（1）欲证C1O面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1B1D1=O1，连接AO1，易得C1OAO1，AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证A1C面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1CB1D1，同理可证A1CAB1，又D1B1AB1=B1，满足定理所需条件【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1B1D1=O1，连接AO1，ABCDA1B1C1D1是正方体，A1ACC1是平行四边形，A1C1AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，O1C1AO且O1C1=AO，AOC1O1是平行四边形，C1OAO1，AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，C1O面AB1D1；（2）CC1面A1B1C1D1CC1B1D!，又A1C1B1D1，B1D1面A1C1C，即A1CB1D1，A1BAB1，BCAB1，又A1BBC=B，AB1平面A1BC，又A1C平面A1BC，A1CAB1，又D1B1AB1=B1，A1C面AB1D1【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力17如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：（1）E，F，D，B四点共面；（2）面AMN平面EFDB【分析】（1）由E，E分别是B1C1，C1D1的中点，知EFB1D1，从而得到EFBD，由此能证明E，F，B，D，四点共面（2）由题设条件推导出MNEF，ANCF，由此能够证明面MAN面EFDB【解答】证明：（1）E，E分别是B1C1，C1D1的中点，EFB1D1，B1D1BD，EFBD，E，F，B，D，四点共面（2）M，N分别是A1B1，D1A1的中点，MNB1D1，EFB1D1，MNEF，F，N分别是D1C1、A1B1的中点，NFA1D1，NFAC，四边形NFCA是平行四边形，ANCF，MNAN=N，EFDF=F，面MAN面EFDB【点评】本题考查四点共面的证明，考查两个平面平行的证明解题时要认真审题，注意中位线定理和平行公理的合理运用18如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P是DD1的中点求证：（1）直线BD1平面PAC（2）求异面直线PC与AA1所成的角平面PAC平面BDD1【分析】（1）连接BD，交AC于O，连接PO，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）连接PC1，AA1CC1，C1CP即为异面直线PC与AA1所成的角，分别求出C1CP的三边，由解三角形即可得到所求角；运用正方形的对角线垂直和线面垂直的性质定理，可得AC平面BDD1B1，再由面面垂直的判定定理，即可得证【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，连接PO，在BDD1中，OP为中位线，可得OPBD1，又OP平面PAC，BD1平面PAC，则直线BD1平面PAC；（2）连接PC1，AA1CC1，C1CP即为异面直线PC与AA1所成的角，在C1CP中，C1C=2，PC=，PC1=，由PC2+PC12=CC12，可得C1CP为等腰直角三角形，则异面直线PC与AA1所成的角为45；证明：在底面ABCD中，AB=AD，即有四边形ABCD为正方形，可得ACBD，D1D平面ABCD，AC平面ABCD，即有D1DAC，D1DBD=D，可得AC平面BDD1B1，AC平面PAC，则平面PAC平面BDD1【点评】本题考查线面平行的判定，注意运用中位线定理和线面平行的判定定理，考查异面直线所成角的求法，注意运用平移法，考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=CB=CC1=2，E是AB中点（）求证：AB1平面A1CE；（）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值【分析】（）由ABCA1B1C1是直三棱柱，可知CC1AC，CC1BC，ACB=90，ACBC建立空间直角坐标系Cxyz则A，B1，E，A1，可得，可知，根据，推断出AB1CE，AB1CA1，根据线面垂直的判定定理可知AB1平面A1CE（）由（）知是平面A1CE的法向量，进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值【解答】（）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1AC，CC1BC，又ACB=90，即ACBC如图所示，建立空间直角坐标系CxyzA（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），又因为 ，AB1CE，AB1CA1，AB1平面A1CE（）解：由（）知，是平面A1CE的法向量，|cos，|=设直线A1C1与平面A1CE所成的角为，则sin=|cos，|=所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，向量的数量积的运用，法向量的运用综合考查了学生所学知识的灵活运用20如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点求证：平面D1EF平面BDG【分析】欲证平面D1EF平面BDG，根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，EFBD又EF平面BDG，BD平面BDG根据线面平行的性质可知EF平面BDG，同理可证D1E平面BDG，EFD1E=E，满足定理条件【解答】证明：E、F分别是AB、AD的中点，EFBD又EF平面BDG，BD平面BDGEF平面BDGD1GEB四边形D1GBE为平行四边形，D1EGB又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E平面BDG，EFD1E=E，平面D1EF平面BDG【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行的判定，考查识图能力和逻辑思维能力与推理论证能力，考查转化思想，属于基础题21（文科）如图，正