1、完整版)函数周期与对称轴
抽象函数的周期与对称轴
本周教学重、难点
重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论.
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
具体内容
1。 若则的周期为T。
2。 若则的周期为
证：令 ∴
3。 则的周期
证：令 ∴ ①
令 ∴ ②
由①②得：
∴ ∴
4。 若则图象的对称轴为
证：要证原结论成立，只需证
令代入
则
5。 若则的图象，以为对称中心。
证：
方法一：要证原结论成立只需证
令代入
则
方法二：设它的图象为C
则P关于点的对称点
2、
∵ ∴ ∴
【典型例题】
[例1] 对于，有下列命题。
(1）在同一坐标系下,函数与的图象关于直线对称.
（2)若且均成立,则为偶函数.
（3）若恒成立，则为周期函数。
(4）若为单调增函数，则（且）也为单调增函数，其中正确的为？
解：（2）（3）
［例2] 若函数有求。
解：
，知的图象关于对称
而的对称中心 ∴
∴ 则
［例3] 设是定义在R上的函数，均有当时，求当时,的解析式。
解：由有得
设则
∴
∴ 时
[例4] 已知是定义在R上的函数且满足，当时有则
（1）是周期函数且周期为2
（2）当时
3、
(3）其中正确的是？
解:（1）(2）(3)
[例5] 已知满足，,当时，且，若，，求、、的大小关系？
解：由已知得，对称轴 ∴ 也为一条对称轴
∴ ∴ 由 ∴ ∴
∴ ，， ∴
［例6］ 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，求的值。
解:
[例7] 设定义在R上，有且当时，
（1）求证：且当时,
(2）求证：在R上递减.
解：
（1）在中，令，得
∵ ∴
设，则令,代入条件式
有而 ∴
(2）设则 ∴
令，则代入条件
4、式得即 ∴ ∴ 在R上递减
【模拟试题】
一。 选择
1. 已知满足，且是奇函数，若则( ）
A. B. C. D.
2。 已知是定义在R上的偶函数,且对任何实数均成立，当时，，当时，（ ）
A。 B. C。 D。
3。 若函数，都有则等于（ ）
A。 0 B。 3 C. D. 3或
4. 函数是（ ）
A。 周期为的奇函数 B。 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D。 周期为的奇函数
5。 的图象关于y轴对称的充要条件是（
5、)
A。 B。 C。 D.
6。 如果且则可以是（ )
A. B。 C. D.
7. 为偶函数的充要条件是（ )
A. B。 C。 D.
8. 设是R上的奇函数，当时，，则（ ）
A. 0.5 B。 C. 1.5 D。
9。 设,有那么（ ）
A. B.
C。 D.
10. 定义在R上，则与的图象关于（ )
A。 对称 B。 对称 C。 对称 D。 对称
二. 填空
1。
6、是R上的奇函数，且，则
。
2。 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。
3。 为奇函数,且当时，则当时 。
4。 偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则
（1）
（2)
(3）
（4)中正确的是 。
三。 解答题
1. 设是定义在R上的偶函数，图象关于对称,、都有且
(1)求、
（2）证明：是周期函数
2。 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足
3. 已知对任意实数t都有，比较与的大小.
4。 定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有101个不同实根，求所有实根之和.
【试题答案】
7、
一.
1. B 2。 C 3. D 4。 C 5。 C 6. D 7. B 8. B
9。 A 10。 D
二.
1. 0 2. 3. 4。（2）
三.
1。
解：
(1)∵ 都有
∴
∵
∵ ，
∴
（2)由已知关于对称
∴ 即,
又由是偶函数知,
∴ ,将上式中以代换得
∴ 是R上的周期函数,且2是它的一个周期
2。
证：∵ 关于和对称 ∴ ，
∴ 令,则
∴ 即
3.
解：由知抛物线的对称轴是1
∴ 而
根据在上是增函数得即
4.
解：设即 ∴
∴ 有 ∴ 所有实根之和为
注：
一个结论:设，都有且有k个实根，则所有实根之和为
5
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