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概率论与数理统计
一、填空题
1．已知则（ 0.25 ）
2．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）
3．理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。即当n0，p，且np（常数 ）时，有关系式=成立。
4．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）
5．若事件A,B为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ).
6．写出随机变量X服从参数为λ（正常数）的泊松分布的概率公式
（ ）
7．当随机变量R.V. ~N（,）时，有P{a雨是随机事件。（ P ）
3、 若事件A和事件B相互独立，则P(AB)=P(A)+P(B). ( O )
4、 设随机变量X的概率密度为a, 则E（X＋1）＝1 。（ O ）
5、 设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1,D(Y)=2,则D（X+Y）＝3 。 （ P ）
6、 设随机变量X~U[0,1]，则 P{x>0}=0.6 。 （ P ）
7、 设样本的频数分布为
X  0　　1　　2　　3　　4
频数 　1　　3　　2　　1　　2
则样本方差为1。 （ O ）
8、 D(X+1)=D(X) ( P )
9、 甲乙两人各自考上大学的概率分别是70%，80%，则甲乙两人同时考上大学的概率是56%。（ P ）
10、 如果密度函数连续，那么密度函数是分布函数的导数。（ P ）
三、单项选择题
1．设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞P（B）＞0，则 ( )
A． P(A)=1-P(B)  　　               B．P(AB)=P(A)P(B)　　
B． C．P(A∪B)=1　　                D．P(A∪B)= p(A)+P(B)
2．已知随机变量的分布列R.V.~,则k值是( ).
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．0.7
3．设A，B为随机事件，P（B）＞0，P（A|B）=1,则必有 ( )
A． P(A∪B)＝P（A）                      B．P(A∪B)＝P（B）         
C． P（A）＝P（B）                     D．P（AB）＝P（A）
4、若事件A发生必将导致事件B发生，则称（ ）
A．A包含B B．A包含于B
C．B包含于A D．A与B 相等
5．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 ( )
A．0.25         B． 0.35          C． 0.6            D． 0.7
6．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( )
A．2/3                B．3/4        C．3/64             D．4/5 
7．下列分布中，不是连续型分布的是（ ）
A．二项分布 B．正态分布
C．指数分布 D．分布
8．已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/2，令Y＝－2X，则Y的概率密度为 ( )
A． -3　　　  B．-4           C．+1              D．-1 
9、在相同条件下进行的n次重复试验，如果每次试验只有2个可能结果，而且它们在各次试验中发生的概率不变，则称这样的试验为n重（ ）
A．n重古典试验 B．n重统计试验
C．n重泊松试验 D．n重伯努利试验
10．如果函数f(x)=1/3,是某连续随机变量X的概率密度，则区间[a,b]可以是 ( )
A．[0,1]      B．[0.2]         C．[0,3 ]     D．[1,2]
11. 甲乙二人射击，每枪中靶的概率分别为0.7, 0.8,则二人各打一枪同时中靶的概率为 ( )
A. 0.6 B 0.7 C. 0.56 D. 1.5
12. 一次抛掷十枚硬币，恰好两枚正面向上的概率为 ( )
A. 5×2^(-10) B.45×2^(-10) C. 54×2^(-10) D. 4×2^(-10)
13、已知A，B是样本空间中的两事件，且={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，6，8}，B={2，3，4，5，6，7}，则是（ ）
A．{2，4，6} B．{2，4，6，8}
C．{1，3，5，7，8} D．{1，3，5，7}
14 .已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E（XY）＝（ ）
A． 3　　　　　　　　B．6　           C．10            D．12
15．设φ（x）为标准正态分布函数，且P(A)=0.8，X1，X2，…，X100相互独立。令 ，则由中心极限定理知Y的分布函数F（y）近似于 （ ）
A．φ（y）          B．(X)         C．0.8       D．1 

四、简答题
1．叙述伯努利大数定理。
答：设是次独立重复试验中事件发生的次数。是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有

或
2． 15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？（本题是课本17页例7）
答案：15名新生平均分配到三个班级中去的分法总数为
。每一种分配法为一基本事件，且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同。
（1） 将3名优秀生分配到三个班级每班一个的分法共3！种，其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有种。因此，每一个班级各有一名优秀生的分法共有种。于是所求的概率为

3．叙述棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理。
答：设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意，有

五、计算题。
1．设随机变量的分布律为

-1
2
3

求的分布函数，并求，，。
答：仅在三点处其概率不为0，而的值是的累积概率值，即为小于或等于的处的之和，则有

即
，
，
。
2．设随机变量具有概率密度

确定常数；求的分布函数；求。
答：由，得
解得 。
的分布函数为

即
。
3．已知随机变量有分布密度
P(x)=
又知P{2<<3}=2P{1<<2}，试求待定系数a，b.
解： （1）
又 （2）
解之得：
4a+2b=1

4．设随机变量服从指数分布，其概率密度为
其中，
求，。
答：
，

，
于是 .
5．设随机变量具有概率密度

求随机变量的概率密度。
答：分别记的分布函数为，
则。
将关于求导数，得的概率密度为

6．某人独立射击400次，命中率为0.015。试求此人至少命中2次的概率。
解：因为是独立射击，所以服从二项分布此人在400次独立射击中至少命中2次的概率=1-此人在400次独立射击中只击中1次的概率-此人在400次独立射击中只击中0次的概率。所以有
P(此人在400次独立射击中只击中1次)==
P(此人在400次独立射击中只击中0次)==
1--
=1-0.00240467267584-0.00236860258570
=0.99522672473846
7．设随机变量具有概率密度

求数学期望，.
答：
.
8．设总体在上服从均匀分布，未知. 是来自的样本，
求的矩估计量.
答：
.
即
解得

分别以代替得到的矩估计量分别为：

9.设总体的均值及方差都存在，且但，均未知.又设是来自的样本. 求，的矩估计量.
答：由
解得
分别以代替得到，的矩估计量分别为：

10．有一批糖果.现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。
答：由于
由数据得
则得均值的一个置信水平为0.95的置信区间为
（503.75±）,
即 （500.4，507.1）
11．为研究某一化学反应过程中，温度（℃）对产品得率（﹪）的影响，测得数据如下.

温度（℃）
100
110
120
130
140
得率（﹪）
40
50
55
60
65
这里自变量是普通变量，是随机变量，求关于的线性回归方程。
答：列表如下;

100
40
10000
1600
4000

110
50
12100
2500
5500

120
55
14400
3025
6600

130
60
16900
3600
7800

140
65
19600
4225
9100

600
270
73000
14950
33000

,
，
则得，

故回归直线方程为
.
12．1到100的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？
答案：设A为事件“取到的数能被6整除”，B为事件“取到的数能8整除”，则所求概率为

=
由于，。又由于一个数同时能被6与8
整除，就相当于能被24整除，因此，得，于是所求概率为

13．设A，B为两个随机事件，0＜P（B）＜1，且P（A｜B）＝P（A），证明事件A与B相互独立。
答案；证明：由P（A｜B）＝P（A）又因为P（A｜B）=，
所以
所以，所以事件A与B相互独立。
14．的分布列为
（1）求的值；　　　（2）求的值．
答案：解：（1）由，得
（2）
15．设X~,为未知参数，x1,x2,x3,…xn是来自X的一个样本值。求的最大似然估计量。
答案：解：X的概率密度为

似然函数为

而
令
由前一式解得,代入后一式得.因此得的最大似然估计量为,
16．某课程命题初衷，其成绩，为待估参数。考毕抽查其中5份试卷的成绩如下：
77 95 81 53 69
试求该课程平均成绩的置信区间。置信水平。
解：这里，=0.025，n-1=4，=2.7764，由给出的数据算的=75，s=13.5，由公式得均值的一个置信水平为0.95的置信区间为
即（58.2378，91.7622）
这就是说估计学生成绩的均值在58.2378与91.7622分之间，这个估计的可信度为95%。
17. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：或
系统I
1
2
n
n+1
n+2
2n
如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。

系统II
1
n+1
2
n+2
n
2n

解：令 “系统（Ⅰ）正常工作” “系统（Ⅱ）正常工作”
“第个元件正常工作”，
相互独立。
那么

18. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图所示.
f (x)

x
t
o
1
2
3
0.5

试求:（1）的值； （2）的概率密度； （3）.
解：
（1）

（2）
（3）
19.某地4至10周岁女孩7个年龄组的平均身高(单位:cm)的实测数据如下:
女孩年龄()
4
5
6
7
8
9
10
平均身高()
101
106
112
116
121
125
129
试求女孩身高关于年龄的线性回归方程。（94344）
解：通过做散点图知道女孩的年龄x和身高y具有线性函数a+bx的形式。
我们假设对于x的每一个值有，其中a,b及都是不依赖于x的未知参数.记，对Y作这样的假设，相当于假设

其中未知参数a,b及都不依赖于x。
现在n=7,为求线性回归方程，所需计算列表如下：

x　
y　

xy　

4
101
16
10201
404

5
106
25
11236
530

6
112
36
12544
672

7
116
49
13456
812

8
121
64
14641
968

9
125
81
15625
1125

10
129
100
16641
1000

49
810
371
94344
5511

= 28, =-159
故得 ==-0.1761
= 116.9470
于是得到回归直线方程

作业：（任选五题）
1、1到100的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？
2、某课程命题初衷，其成绩，为待估参数。考毕抽查其中5份试卷的成绩如下：
77 95 81 53 69
试求该课程平均成绩的置信区间。置信水平。
3、的分布列为
（１）求的值；　　　（２）求的值．
4、设A，B为两个随机事件，0＜P（B）＜1，且P（A｜B）＝P（A），证明事件A与B相互独立。
5、设随机变量具有概率密度

确定常数；求的分布函数；求。
6、15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？
7、假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson(泊松)分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:
（1）证明服从指数分布并求出的分布函数；
（2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
8、设连续型随机变量的概率密度为

以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率.
9、已知的概率分布为：

-2
-1
0
1
2
3

2a

3a
a
a
2a
试求（1）； （2）的概率分布。
10、以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报；
（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；
（9）三种报纸不全订阅。

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