北京市东城区高三第二学期综合练习数学文科.doc

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北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习(二）
高三数学 （文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知复数,若是纯虚数，则实数等于( B ）
A． B． C． D．
2。 设集合，，那么“”是“”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ A ）
A ． B．
C． D．
4。 若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ D ）
A．　 B． C． D．
5。已知函数，则与两函数图象的交点个数为 （ C ）
A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D．
6. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上,且轴，若，则双曲线的离心率等于（ A ）
A。 B. C. D.
7. 若函数是上的单调减函数,则实数的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
8. 已知数列中，（），（),能使的可以等于（ C ）
A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 D．

第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡相应位置的横线上.
9。 命题“”的否定是 ．
10．已知向量，，，则 ， ．
11。 在直角坐标系中，设集合，在区域内任取一点,则满足的概率等于 ．
12. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．
13。 执行如图所示的程序框图，输出的 ．

第12题图 第13题图
14。 已知函数,,有下列命题：
①当时，的最小正周期是；
②当时,的最大值为；
③当时,将函数的图象向左平移可以得到函数的图象.
其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）
在中，角，，所对的边分别为，,,且，．
（Ⅰ)若，求的值；
（Ⅱ）若的面积，求,的值21．世纪教

16．(本小题满分13分）
随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间,，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图)．
(Ⅰ)求频率分布直方图中的值及身高在以上的学生人数；
Ⅱ）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组,用分层抽样的方法从三个组中抽取人，求从这三个组分别抽取的学生人数;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,要从名学生中抽取人,用列举法计算组中至少有人被抽中的概率．

17．（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）边上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分13分)
已知等比数列的公比， 是和的一个等比中项，和的等差中项为,若数列满足（）．
(Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ)求数列的前项和．

19．（本小题满分13分)
已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为A,右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线,与直线分别交于两点．
(I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段的长度的最小值；
(Ⅲ)在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标,若不存在，说明理由．

20.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）设（）求证：
．

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

北京市东城区2009—2010学年度第二学期综合练习（二）
高三数学参考答案 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．B 3．A　 4．D 5．C 　 6．A 　 7．B　 8．C
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）
9．, 10．, 11．
12． 13． 14． ①②
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
15. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ）因为，又，
所以．……………………………………2分
由正弦定理,得 ．……………………………………6分
(Ⅱ）因为，
所以．
所以．……………………………………………………………………9分
由余弦定理,得

．
所以。 ……………………………………………………………………13分
16。 （本小题满分13分）
解:（Ⅰ）由频率分布直方图可知

所以．……………………………………3分
身高在以上的学生人数为
(人）．……………………………5分
（Ⅱ） ，,三组的人数分别为人，人，人．
因此应该从，，三组中每组各抽取
（人），(人）,（人)．…………………8分
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设组的位同学为，,，组的位同学为,，组的位同学为，则从名学生中抽取人有种可能:
，，，,，,， ，，，,,,，．
其中组的位学生至少有人被抽中有种可能：
，，, ，，，，，．
所以组中至少有人被抽中的概率为． ……………………………13分
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为平面，
所以．………………………………………………………………2分
　又因为是矩形，
所以． ………………………………………………………………3分
因为，
所以平面．
又因为平面,
所以． ………………………………………………………………5分
(Ⅱ）解：因为平面，
所以是三棱锥的高．
因为为的中点，且，
所以．………………………………………7分
又,
所以．………9分
(Ⅲ)取中点，连结，,
因为为的中点，是的中点，
所以．
又因为平面,平面，
所以平面．…………………………………………………12分
所以．
即在边上存在一点，使得平面，的长为．
…………………………………………………………14分
18。 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为是和的一个等比中项,
所以．
由题意可得…………………………………………………………2分
因为,所以．
解得……………………………………………………………………4分
所以．
故数列的通项公式．………………………………………………6分
(Ⅱ）由于(），所以．
． ①
． ②
①—②得
．
所以 ．…………………………………………………………13分
19．（本小题满分13分)
解：（I）由已知得,抛物线的焦点为,则，又．
由，可得．
故椭圆的方程为．…………………………………………4分
(Ⅱ）直线的斜率显然存在,且，故可设直线的方程为，从而．
由得．………………………………6分
设，则 ． 所以，从而．
即又，
则直线的斜率为．
由 得
所以．
故．
又， ．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时,线段的长度取最小值．…………………………………………8分
（Ⅲ)由（Ⅱ）可知，当的长度取最小值时，．
则直线的方程为，此时，．
若椭圆上存在点,使得的面积等于，则点到直线的距离等于，
所以在平行于且与距离等于的直线上．
设直线．
则由 得．………………………………………10分
．即．
由平行线间的距离公式,得 ，
解得或（舍去）．
可求得或．…………………………………………13分
20. (本小题满分14分）
解:（Ⅰ）函数，
则．………………………………………………3分
因为函数在上是单调增函数，
所以在上恒成立．
即在上恒成立．
所以．
因为当时，,
当且仅当，即时等号成立．
所以时．
故实数的取值范围是．…………………………………………………7分
（Ⅱ）令，则．
．
当时，，
所以在上是增函数．
所以．
所以．
所以．
即．…………………………………………………10分
所以，
，
,
……
．
所以

．
故所证不等式成立．……………………………………………………………14分