1、
函数与导数
1. 已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（Ⅰ）解：当时，
所以曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）解：，令，解得
因为，以下分两种情况讨论：
（1）若变化时，的变化情况如下表：
+
-
+
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。
2、 （2）若，当变化时，的变化情况如下表：
+
-
+
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，
所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若
所以内存在零点。
若
所以内存在零点。
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
2. 已知函数，．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x
3、)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设，解关于x的方程；
（Ⅲ）设，证明：．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ），
．
令，得（舍去）．
当时．；当时，，
故当时，为增函数；当时，为减函数．
为的极大值点，且．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为，
即为，且
①当时，，则，即，
，此时，∵，
此时方程仅有一解．
②当时，，由，得，，
若，则，方程有两解；
若时，则，方程有一解；
若或，原方程无解．
方法二：原方程可
4、化为，
即，
①当时，原方程有一解；
②当时，原方程有二解；
③当时，原方程有一解；
④当或时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得，
．
设数列的前n项和为，且（）
从而有，当时，．
又
．
即对任意时，有，又因为，所以．
则，故原不等式成立．
3. 设函数，
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．
注：为自然对数的底数．
【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。
（Ⅰ）解：因为
所以
由于，所以的增区间为，减区间为
（Ⅱ）证明：由题意得
5、
由（Ⅰ）知内单调递增，
要使恒成立，
只要
解得
4. 设，其中为正实数.
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.
【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
解：对求导得 ①
（I）当，若
综合①,可知
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以,是极小值点,是极大值点.
（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合
6、①与条件a>0，知
在R上恒成立，因此由此并结合，知
5. 已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m7、分类与整合思想，满分14分。
解：（I）由
（II）由（I）可得
从而
，故：
（1）当
（2）当
综上，当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为（0，1）；
当时，函数的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为。
（III）当a=1时，
由（II）可得，当x在区间内变化时，的变化情况如下表：
-
0
+
单调递减
极小值1
单调递增
2
又的值域为[1，2]。
据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。
并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。
综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，
8、最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t
与曲线都有公共点。
6. 设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线l。
（I） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。
【解析】20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）
解：（Ⅰ）
由于曲线在点（2，0）处有相同的切线，
故有
由此得
所以，切线的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以
依题意，方程有三个互不相同的实数，
故是方程的两相异的实根。
所以
又对任意的成立，
特别地，取时，成立，得
由韦达定理，可得
对任意的
则
所以函数的最大值为0。
于是当时，对任意的恒成立，
综上，的取值范围是
7
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