1、 平面向量的数量积
教学目标：
(i)知识目标:
（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
(2) 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标:
(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.
(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点: 平面向量数量积的综合应用.
教学过程：
一、追溯
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非
2、零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosq叫与的数量积，记作×，即× = ||||cosq，并规定与任何向量的数量积为0
2．平面向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影||cosq的乘积.
3．两个向量的数量积的性质 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1°× = × =||cosq； 2°^ Û × = 0
3°当与同向时，× = ||||；当与反向时，× = -||||,特别地× = ||2
4°cosq = ； 5°|×| ≤ ||||
4.平面向量数量积的运算律
① 交换律： × = × ② 数乘结合
3、律：()× =(×) = ×()
③ 分配律：( + )× = × + ×
5.平面向量数量积的坐标表示
①已知两个向量，,则.
②设，则.
③平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、，那么.
④向量垂直的判定 两个非零向量，，则 .
⑤两向量夹角的余弦 cosq = （）.
二、典型例题
1. 平面向量数量积的运算
例题1 已知下列命题:
①; ②; ③; ④
其中正确命题序号是 ②、④ .
点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,
4、分别求.
解(1)当 时, =或=.
(2)当时, =.
(3)当的夹角为时, =.
变式训练:已知,求
解:=
点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.
2.夹角问题
例题3 (2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为 ( )
A. B. C. D.
解:依题意 故选C
学生训练: ① 已知,求向量与向量的夹角.
② 已知,夹角为,则 .
解: ① ,故夹角为.
②依题意得
5、
变式训练:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.
法一 解:将两边平方得 ,
则, 故的夹角.为.
法二: 数形结合
点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.
3.向量模的问题
例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.
解: ,且的夹角为
;
变式训练 :
①(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )
A. B. C. D.
②(2006年福建) 已知的夹角为,, ,则 等于( )
A 5
6、 B. 4 C. 3 D. 1
解: ① , 故选C
②, ,解得,故选B
点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.
4.平面向量数量积的综合应用
例题5 (2006年全国卷)已知向量.
(1) 若 ; (2)求的最大值 .
解:(1)若,则,.
(2) ==
,的最大值为.
例题6已知向量,且满足,
(1) 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;
(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.
解:(1)
, 故
(2) ,
故.
(3) ,此时当最小值为.
,量与向量的夹角
小结
1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率.
2. 灵活应用公式× = ||||cosq , , .
3. 平面向量数量积的综合应用
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