1、上海市松江区2019届高三二模数学试卷2019.4一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合，则 2. 抛物线的准线方程为 3. 已知函数的反函数为，则 4. 已知等比数列的首项为1，公比为，表示的前项和，则 5. 若、的方程组有无穷多组解，则的值为 6. 在中，角、的对边分别为、，其面积，则 7. 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数为 8. 设不等式组表示的可行域为，若指数函数的图像与有公共点，则的取值范围是 9. 若函数的图像关于直线对称，则正数的最小值为 10. 在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为 11.
2、若函数有零点，则其所有零点的集合为 （用列举法表示）12. 如图，是圆上的任意一点，、是圆直径的两个端点，点在直径上，点在线段上，若，则点的轨迹方程为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知、是三条不同直线，、是两个不同平面，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则14. 过点与双曲线仅有一个公共点的直线有（ ）A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条15. 十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大
3、定理，则下面命题正确的是（ ） 对任意正整数，关于、的方程都没有正整数解； 当整数时，关于、的方程至少存在一组正整数解； 当正整数时，关于、的方程至少存在一组正整数解； 若关于、的方程至少存在一组正整数解，则正整数；A. B. C. D. 16. 如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线等分成八个区域（不含边界），已知数列，表示数列的前项和，对任意的正整数，均有，当时，点（ ）A. 只能在区域B. 只能在区域和C. 在区域均会出现D. 当为奇数时，点在区域或，当为偶数时，点在区域或三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正
4、方形，底面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求四棱锥的侧面积.18. 已知复数满足，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、在复平面上对应点分别为、，求的值.19. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发
5、人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.20. 把半椭圆（）与圆弧（）合成的曲线称作“曲圆”，其中为的右焦点，如图所示，、分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于、两点（在轴的上方）.（1）求半椭圆和圆弧的方程；（2）当点、分别在第一、第三象限时，求的周长的取值范围；（3）若射线绕点顺时针旋转交“曲圆”于点，请用表示、两点的坐标，并求的面积的最小值.21. 无穷数列、满足：，记（表示3个实数、中的最大数）.（1）若，求数列的前项和；（2）若，当时，求满足条件的的取值范围；（3）证明：对于任意正整数、，必存在正整数，使得，.参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二. 选择题13. C 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）；（2）18.（1），；（2）19.（1），；（2）20.（1），；（2）；（3）21.（1），；（2）；（3）略.
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