三角形中线等分面积应用.doc

第5讲
例说三角形中线等分面积的应用
图1
如图1，线段AD是△ABC的中线，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则S△ABD＝BD·AE，S△ADC＝DC·AE，因为BD＝DC，所以S△ABD＝S△ADC。因此，三角形的中线把△ABC分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积
图2
例1、如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.
分析：因为E、F分别是BC和CD的中点，则连接CG后，可知GF、GE分别是△DGC、△BGC的中线，而由S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ=，可得S△ＢＥＧ=S△ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，问题得解。
解：连接CG，由E、F分别是BC和CD的中点，所以S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ=，从而得S△ＢＥＧ=S△ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等且等于×=，因此S四边形ＡＢＧＤ=ab－4×=。
例2、在如图3至图5中，△ABC的面积为a ．
  （1）如图2, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；
D
E
A
B
C
F
图5
  （2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；
A
B
C
D
E
图4

图3
A
B
C
D

（3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图6）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图6），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．

应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？
分析：从第1个图可以发现AC就是△ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到△ECD的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
解：（1）由CD=BC，可知AC就是△ABD的中线，中线AC将△ABD的分成两个三角形△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；
图6
D
E
A
B
C
F
H
M
G
（2）若连接DA，则DA就是△ECD的中线，中线AD将△ECD分成△CDA、△EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；
（3）根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF面积都为2a；所以S2=6a；
发现：由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是S△DEF= S3+S△ABC=6a+a=7a；即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍。
应用：由以上分析可知
扩展一次后S总1=7a，
扩展二次后S总2=S总1=72a，
扩展三次后S总3=S总2=73a，
拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m2）
说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。
二、巧分三角形
例3、如图7，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.
图7
图8
图9

分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。
解：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BDBE，则AD、AE把△ABC分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.

方法2：在BC边上截取DCBC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则△PAC、△PAB、△PBC的面积之比为1:2: 3（如图9）.
想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？
二、巧算式子的值
图10
例2 在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.
分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。
解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为，
因此.
说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.

三角形内角和定理及外角性质的应用
三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．
三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明．
一、求三角形的内角
例2 (08太原)在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
解：由三角形内角和定理，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，答案选D．
例3 (08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿．
解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，
∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，
由三角形内角和定理，得
∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D． 图1
说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．
二、判断三角形的形状
例1 (08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
解：设三个内角分别为2k，3k，5k，由三角形内角和定理，得
2k+3k+5k=180°．解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C．
三、求角平分线的夹角
例4 (08沈阳)已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为＿＿．
解：如图2，由BO平分∠ABC，得∠1=∠ABC；
由CO平分∠ACB，得∠2=∠ACB．
所以∠1+∠2=(∠ABC +∠ACB)=(180°-∠A) 图2
=(180°-60°)=60°．
四、求三角形的外角
例5 (08贵州)如图5，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．
解：如图6，延长AB交l2于点E．
因为l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC=∠3．
由AB⊥l1，得∠3=90°．所以∠BEC=90°．
由三角形外角性质，得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°．

图5 图6
说明本题也可延长CB交l1于点F，构造△FBD进行求解，完成请同学们完成．
五、比较角的大小
例5 (08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是( )

A B C D
解：A选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B．
全等三角形水平测试（1）
湖北　薛建辉

一、试试你的身手
1．如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌__________，AB的对应边是________，AC的对应边是____________，∠BCA的对应角是__________．

2．如图所示，△ACB≌△DEF，其中A与D，C与E是对应顶点，则CB的对应边是________，∠ABC的对应角是__________．

3．△ABC和中，若，，则需要补充条件________可得到

4．如图所示，AB，CD相交于O，且AO＝OB，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是_____联想到SAS，只需补充条件________，则有△AOC≌△________．
5．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________．

6．如图所示，若只有AD⊥BD于点D这个条件，要证△ABD≌△ACD，则需补充的条件是________或__________或__________．

7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE的度数为__________．

二、相信你的选择
1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为（　　　）
Ａ．①②③④　　　Ｂ．①③④　　　Ｃ．①②④　　　Ｄ．②③④
2．下列结论错误的是（　　　）
Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边
Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角
Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形
Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等
3．下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件的是（　　　）
Ａ．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF　　　　Ｂ．AB＝BC，∠B＝∠E，DE＝EF
０．AB＝EF，∠A＝∠D，AC＝DF　　　　Ｄ．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
4．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，若证△ABC≌△DEF，还要补充一个条件，错误的补充方法是（　　　）
Ａ．∠B＝∠E　　　Ｂ．∠C＝∠F　　　　Ｃ．BC＝EF　　　　Ｄ．AC＝DF
5．下列说法正确的是（　　　）
Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等　　　　Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等
Ｃ．两个等边三角形一定全等　　　　　　　　　Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等
6．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有　　）

Ａ．1对　　　Ｂ．2对　　　Ｃ．3对　　　Ｄ．4对

1
2

7．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABC≌△DBC，则需补充的条件是（　　　）
Ａ．∠A＝∠D　　　Ｂ．∠E＝∠C　　　　Ｃ．∠A＝∠C　　　Ｄ．∠1＝∠2
三、挑战你的技能

1．如图，若∠DAB＝∠CBA，请你再添加一对相等的条件，使△ABD≌△CAB，并说明三角形全等的理由．

2．（1）完成下面的证明：
如图，AB＝AC，E，F分别是A C，AB的中点，那么△ABE≌△ACF．
证明：分别是，的中点，
，（　　　）
，
在和中

．

（2）根据（1）的证明，若连结BC．请证明：△EBC≌△FCB．

3．如图，已知：BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，求证：AD∥BC．

4．如图，已知：CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，（1）你能说明△BDF和△CDE全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程．

四、拓广探索
飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．

（1）画出测量方案
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）
（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）

参考答案：
一、1．△ADC，AD，AC，∠DCA　　　2．EF，∠DFE　　　3．
4．∠AOC=∠BOD，OC=OD，△BOD 5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6．∠BAD=∠CAD，AB=AC，BD=CD 7．100°
二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D
三、1．需要再添加的条件为：∠DBA=∠BAC（ASA）或∠DAC=∠CBD（ASA）或AD=BC（SAS）
2．
（1）中点定义，
（2）
证明：，；又，分别为，的中点，，，，，在和中，．
3．证明：，，，
，，，．
在和中，，，．
4. （1）不能，（2）添加的条件为：BD=DC或DF=DE或BF=CE．选：BD=DC．
证明：，，，
在和中， ，．
四、（1）如图所示
（2）在地上找到可以直接到达点A，B的一点O，在AO的延长线上取一点以，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点在，并测得OD=OB，这时测得CD的长为A，则AB的长就是A．

（3）理由：由测法可得．OC=OA，OD=OB，∠COD=∠AOB，所以△COD≌△AOB，所以CD=AB=A．

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