2018-2019学年青海省西宁市第四高级中学高一上学期期中数学试题(解析版).doc

2018-2019学年青海省西宁市第四高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题
1．设集合,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件可知,,应选B。
2．已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C
3．函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，可得，，
可得，所以函数的零点所在的大致区间是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了零点的存在定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．已知f（x）=，则f[f（2）]= （ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】D
【解析】根据所给解析式，先求f（2）的值，再求的值，即可求解．
【详解】
由题意，函数，可得，
所以．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值问题，其中解答的关键是看清所给自变量的值所在范围，结合分段函数的解析式，准确计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．三个数 之间的大小关系是 ( 　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用指数函数的性质、对数函数的性质确定所在的区间，从而可得结果.
【详解】
由对数函数的性质可知，
由指数函数的性质可知，
，故选D.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
6．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由式子，可得，结合指数幂的运算性质，即可求解．
【详解】
由式子，可得，根据指数幂的运算性质，可得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了实数指数幂的运算，其中解答中熟记指数幂的性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题．
7．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果．
【详解】
根据函数的基本性质，逐项判定：
对于A中，函数y=x3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；
对于B中，函数y=|x|+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；
对于C中，函数y=-x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意；
对于D中，函数y=2-|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，函数的奇偶性判定及应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
8．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数解析式可得：y=可得值域为：0单调递增；在(0,+∞)上单调递减。
故选：D.
9．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【解析】根据函数的性质结合函数的单调性分别求出各个选项中函数的值域，从而求出答案．
【详解】
对于A中，函数的值域是，不合题意，
对于B中，函数的值域是，符合题意，
对于C中，函数，对称轴，
时：函数在递减，在递增，
∴函数的最小值是2，无最大值，故函数的值域是[2，+∞），不合题意，
对于D中，函数，当时，，时，．
故函数的值域是（0，1]，不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中熟练应用函数的单调性和初等函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过，得出和异号，观察图像可得结果.
【详解】
，
和异号，
由为奇函数如图

可得：
当，，
当，，
所以不等式的解集为：.
故选：C.
【点睛】
由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．
11．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
【答案】D
【解析】【详解】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），
∴f（0）=1+b=0，
解得b=-1
∴f（1）=2+2-1=3．
∴f（-1）=-f（1）=-3．
故选D．

12．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时满足条件
当时，由题可知且得
综上所述，
故选B
点睛：本题考查二次函数的图象与性质，当二次函数的二次项系数是字母，需要进行分类讨论，结合题设条件解不等式即可.

二、填空题
13．函数的图像过一个定点，则定点的坐标是
【答案】（2,2）
【解析】试题分析：当x=2时，f（2）=a2-2+1=a0+1=2，∴函数y=ax-2+1的图象一定经过定点（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【考点】含有参数的函数过定点的问题.
14．若，则________.
【答案】1
【解析】将指数式化为对数式，再取倒数相加即得．
【详解】
∵2a＝5b＝10，
∴a＝log2 10，b＝log5 10，
∴lg2，lg 5
∴lg2+lg5＝lg（2×5）＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了对数的运算性质．属基础题．
15．幂函数y=（m2-m-5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为______.
【答案】m=3
【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得，解得的值，代入验证，即可求解．
【详解】
由题意，幂函数的图象分布在第一、二象限，
∴，解得或，
当时，函数的图象分布在第一、三象限，不符合题意；
当时，函数的图象分布在第一、三象限，符合题意；
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的概念，以及熟练应用幂函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x2-x，则当x≥0时，f（x）的解析式为______．
【答案】
【解析】设x≥0，则有-x≤0，由条件可得 f（-x），再由f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x），即可求得f（x）的解析式．
【详解】
设x≥0，则有-x≤0，由条件可得f（-x）=x2+x．
再由f（x）是定义在R上的奇函数，可得，
所以当时，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题
17．已知.
（1）求及；
（2） 若集合，满足，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）.
【解析】试题分析：（1）利用指数函数的性质与对数函数的性质分别化简集合，由此根据并集的定义、补集的定义一、与交集的定义能求出和；（2）由，得，由此列不等式能求出实数的取值范围.
试题解析：（1）集合，
，
∴，

∴
（2）∵，∵，∴，
∴，即的取值范围是.
18．不用计算器求下列各式的值.
（1）（2）-（-9.6）0-（3）+（1.5）-2；
（2）log3+lg25+lg4+log225log38log59
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解．
（2）利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．
【详解】
（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得：

（2）log3+lg25+lg4+log225•log38•log59=+lg100+
==．
【点睛】
本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记指数幂与对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19．已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x），在定义域上为减函数，且f（1-a）+f（1-2a）＞0，求实数a的取值范围．
【答案】（，1）
【解析】由奇函数的性质可把f（1-a）+f（1-2a）＞0化为f（1-a）＞f（2a-1）结合函数的单调函数的单调性，列出不等式逐，即可得到a的取值范围．
【详解】
由题意，知f（1-a）+f（1-2a）＞0，可得f（1-a）＞-f（1-2a），
又因为f（x）在（-1，1）上为奇函数，所以-f（1-2a）=f（2a-1），
所以f（1-a）＞f（2a-1），
又因为f（x）是定义在（-1，1）上的减函数，
可得，解得＜a＜1，
即实数a的取值范围为（，1）．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与单调性综合应用，解决本题的关键是利用函数的性质去掉不等式中的符号“f”，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题．
20．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】（1）88；（2）当时，最大，最大值为元..
【解析】（1）根据题意租金为3600元时，未出租车俩，即可求解；（2）设每辆车的月租金定为元，写出公司月收益函数，利用二次函数的性质求其最大值即可.
【详解】
（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆。
（2）设每辆车的月租金定为元，则公司月收益为
，
整理得：，
∴当时，最大，最大值为元.
【点睛】
本题主要考查了二次函数模型在实际问题中的应用，属于中档题.
21．设a＞0，f（x）=+（e为常数，e=2.71828…）在R上满足f（x）=f（-x）．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值．
【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）最小值为e+e-1，f（2）最大值为e2+e-2．
【解析】（1）由f（x）=f（-x），化简整理可得a=，即可得到a的值；
（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，2]上递增，计算即可得到最值．
【详解】
（1）由题意，函数满足f（x）=f（-x），可得+=+aex，
即ex（a-）=e-x（a-），可得a=，解得a=1或（舍去）；
所以．
（2）设，则，
因为，可得，
所以，即，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，2]上递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断与证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，以及合理利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
22．已知函数（）在区间上有最大值和最小值，设．
（1）求、的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质判断的单调性，根据最值列出方程组解出，；
（2）化简不等式，分离参数得在上恒成立，设，利用换元法得出在上的最小值即可得出的范围.
试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．
（2）由已知可得，所以可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故， 所以的取值范围是．
点睛：本题考查了二次函数的性质，函数最值的计算，函数恒成立问题研究，属于中档题；恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程.

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