立体几何中的体积问题.doc

完整word)立体几何中的体积问题
立体几何中体积问题的求解技巧
体积计算是立体几何的教学重点，也是数学竞赛的常见考查内容之一．解决这类问题时，除了牢记公式以外,还需要巧恩妙想,结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法．
一、 公式法
例 1 （2012 年江苏赛区初赛 7) 在四面体ABCD中, AB = AC =A D =DB=5 ，BC = 3,CD =4 ，则该四面体的体积为________
解析：根据题意，BC=3，CD =4 ,D B=5，则∠B C D =90°．
如图1,取BD的中点 E ，连结 AE、CE ，由直角三角形性质可知 B E = CE =D E 而 A B = A C =A D =5,
所以△ABE ≌△ACE ≌△ADE ，从而有 AE⊥BD ，AE⊥EC ，故AE⊥平面 BCD,即 AE为平面 BCD上的高，计算可知
VA—BCD=·S△BCD·AE=·6·=
变式1：如图 1，在三棱锥 P—ABC中,PA = 1，AB = AC = 2 ∠PAB =∠PA C =∠BAC = 60°，求三棱锥A-PBC的体积
解在△PAB中，
P B²=PA² + A B²一2P A ·A B cos∠P A B
=1 ²+ 2²一2×1 ×2cos60 °= 3
解得 AB²= PA²+ PB²,
即 P A⊥P B ．
同理可得PA⊥PC ，从而PA⊥平面PB C ．
又因为A B = A C = 2 ，∠ B A C = 60°,
所以△ABC为正三角形,B C = 2．
取B C的中点D ，连结P D ,
则PD ===．
S△PBC= BC ·PD =
因此VA—PBC=S△PBC·PA=··1=

二、 分割法
例2(201年安徽预赛6)如图3设正四棱锥 P—ABCD 的体积为1，E、F、G、H 分别是线段A B、CD、PB、PC的中点，则多面体BEG-CFH 的体积为_______

解析此题要求多面体BEG -CF的体积，必须先将它切割成常见的几何体，取BC EF 的中点M 、N ,连结M N 、GM 、GN ，则多面体BEG—CFH分割为一个四棱锥G—EBMN和一个三棱HFC -GNM ，
因为E 、F 、G 、H 分别是线段 AB 、CD 、PB 、PC的中点,且正四棱锥 P —A B CD 的体积为 1，则四棱锥G —EB M N 的体积为VG-ECMN =，从而三棱锥 E —GNM 的体积为V E –GNM=又三棱柱 H F C — GN M 的体积为三棱锥 E 一G N M 的体积的 3 倍。所以三棱柱H FC-GNM的VHFC-GNM=， 从而多面体B EG —CFH的体积VBEG- CFH =VG-BCMN+VHFGD—GMN=

评注在利用公式难以求解的情况下,我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积．上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案．
变式2
如图 5 ，已知多面体ABC -DEFG ，AB，AC,AD两两垂直,面ABC∥面 DEF G ,面BEF∥面ADGC ，AB = AD = DG = 2 ，AC = EF=1,则该多面体的体积为( ）
（A ）2 （B )4 (C )6 （D ）8

解法1 如图6 ，把多面体ABC-DEFG补成正方体DEPG —ABHM ，则VABC-DEFG= VDEPG—ABHM=23=4

解法2 如图7 ，取DG的中点 H ,以DA ，D E ．D H 为棱构造长方体EFHD-BPCA ，则三棱锥C—HFG 与三棱锥 F—PCB 全等．
V ABC—DEFG=VABPC—DEFH= AB ·AC ·AD=2 × l ×2 = 4 ．

三、 补形法
例3（2012年河南高一预赛5) 已知四面体A —BCD 中，AB =CD= 2,BC =AD =， AC = DB =，则该四面体的体积为_______
解析根据题意，A B = CD = 2，B C =AD =，A C = DB = 考虑到 4²+ 5²= 41 ,4²+ 6²= 52 ，5²+ 6²=61 ，则我们可以将四面体 A—BCD 补形为长方体AMDN —PCQB ，其中，AN = 4 ，AP = 5 ,AM= 6．
计算可知，长方体 AMDN —PCQB 的体积为120 ,而四面体 P -A B C 、M -A CD 、Q -B CD 、N -A B D 的体积均为 2O ，所以四面体A -BC D 的体积为 VA—BCD = 120 —80 = 40．
评注:说是“补形”，实为“还原”．当四面体A—BCD “补”为长方体AMDN -PCQB后，我们就能明白四面体 A —BC D 的体积原来是用长方体的体积减去“补出来”的体积．

变式3如图 6 ，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为 4 ，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于__________

解：如图7,将“一个与已知的几何体完全相同的几何体”与“已知的几何体”拼在一起组成一个高5的完整圆柱,那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半，于是
V=×πX 2²X5 = 10π

四、整体处理
有一些体积问题,如果能从整体着眼,适当处理，那么就能化繁为简，事半功倍．
例4：三棱锥的3条侧棱两两垂直，3个侧面与底面所成角分别是 3O°,45°，60 °，底面面积为，则三棱锥的体积为___________
解如图9 ,设三棱锥的3条侧棱长分别为a，b，c，
则 3 个侧面面积S1，S2,S3分别为为
,°,。,
从而a²b²c²=S1S2S3=。 故V=abc=1
五、巧比
同高不同底的2个三棱锥的体积比等于它们的底面积之比．棱锥 （或圆锥 )被平行于底面的平面所截,所得的小棱锥 （或小圆锥 ）与原棱锥(或原圆锥)相对应的体积比等于“相似比”的立方．遇到此类问题,利用这种比例关系就可快速、准确获解．
例5某工厂食堂用圆台形缸盛满食油，已知此缸上、下底面半径分别为 40 cm 和 20 cm ,13 天后,油的高度降为原来的÷．若每天用油量相等，剩余的油还可以用多少天?
解如图 12 ，将圆台补成圆锥,记从下至上3个部分的体积分别为 V1，V2,V3．设 V1=33a=27a
由圆锥平行于底的截面的性质得V2=53a—33a=98a,
V3=63a—53a=91a
设剩余的油还可以用x 天，由题设得
91 a :13 = 98a ：x
解得 x= 14．故剩余的油还可以用 14 天
变式5
在三棱锥 A-B CD 中,P∈AC ,Q∈B D ,VA-BPQ=6，VB-CPQ=2,VD-CPQ=8，则VA—BCD=__________
解如图 13 ,三棱锥B-APQ与三棱锥B —CPQ同高不同底，得VB—APQ：VB-CPQ=S△APQ:S△CPQ
同理可得VD-APQ：VD—CPQ=S△APQ:S△CPQ
从而VB-APQ:VB-CPQ=VD-APQ：VD-CPQ
解得 VD-APQ=24故VA—BCD=40
六、妙换
当所给三棱锥的体积不便计算时，若能依据题设条细察几何体的特征，合理转换顶点和底面(选择条件较集中的面作底面），则往往有利于问题的解决．
例6如图l4，在长方体中，E，P分别是BC，AD1的中点,N是CD 的中点，AD=AA1=a，AB=2a，求三棱锥P-DEN的体积．(2006年四川省数学高考试题）
解：由CD1∥EP，得CD1∥平面PDE,从而

评注：三棱锥的任何一个面都可以作为它的底，这为解题带来了方便．
变式6
如图15，PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PMBC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC,直线AM 与直线PC所成的角为60°．求三棱锥P—MAC的体积．（2007年四川省数学高考试题）

解：取BC的中点N,则CN=1，连结AN，MN．由PMCN，得MN∥PC，从而MN⊥平面ABC．又
由直线AM 与直线PC所成的角为6O°，可得∠AMN=60°．
在△ACN中，由余弦定理得
AN==,
在△AMN中，有
MN =AN·cot∠AMN = ×=1，
因此PCNM 为正方形，从而

=

七、极端法
例15 如图l9，直三棱柱的体积为V，点P,Q分别在侧棱。和CC，上，AP=C。Q，则四棱锥B—APQC的体积为__________.
解:将条件AP=极端化，使得点P与点
重合,点Q与点C重合，则四棱锥B-APQC就变
成三棱锥 ,它和直三棱柱等底
等高，从而四棱锥的体积等于

练一练
1。如图，在三棱锥 P -AB C 中，AB = BC =2 ，∠AB C = 120°，PA = PB = P C = 4 ，求三棱锥P —AB C的体积
提示：作 P 0 ⊥平面 A B C ，点 0 为垂足．因为PA = PB = P C ，所以 OA = O B = O C ，点 0 为△AB C
的外接圆的圆心．设 0B=R ，则2R===4
在Rt△POB 中,OB = 2，PB=4 ,得PO =2，从而
S△ABC=BA·BC=
故VP-ABC=S△ABC·PO=··2=2
2．如图 12 是一个平面截长方体的剩余部分，已知AB = 4 ,BC = 3 ,AE = 5,CG = 12 ,求几何体 EFGHABCD 的体积．

提示:如图l4 ，把已知多面体补成以ABCD为底面，高为梯形A EGC 的中位线的2 倍的长方体 ABCD –A1B1C1D1,
则VEFGH-ABCD=VABCD-A1B1C1D1=×3 x4 x 17=102

3．如图13 ，已知体积的V的三棱柱ABC —A1B1C1,P 是棱 B1B 。上除 B1，B，以外的任意一点，
求四棱锥 P -A A1C1C 的体积．

提示：如图l5 ，把三棱柱ABC —A1B1C1补成平行六面体 AA 1C1C —D D1 B 1B ，设P 到面 AA 1C 1C的距离为h ，则
VP—AA1C1C=SAA1C1C·h=VAACC—DDBB=2VABC-A1B1C1=

4 (2010年江苏赛区初赛 9)．在三棱锥A—B CD 中，已知∠ACB =∠CBD，∠ACD =∠ADC = ∠BCD =∠BDC =θ且cos=．已知棱 A B 的长为 6，则此棱锥的体积为__
提示根据题意,∠A CD = ∠A DC = ∠BCD=∠BDC =θ，则△ACD≌△BCD,且AC = AD =BC=BD，又 ∠ACB=∠CBD,从而有△ACD≌△BCD ≌△CAB ≌△DAB ，即 ∠ACB = ∠CBD =∠CAD = ∠ADB ，AB=CD.
如 图 2，分别取 CD 、A B 的中点 E 、F ，连结A E 、BE 、E F ，则 AE⊥CD ，BE⊥CD ,所以CD⊥平面ABE ，即平面ABE为CD的垂面，计算可知 AE =BE =9，EF=12，
VA—BCD =·S△ABE ·CD=··6·12·6=144
5。如图16，在边长为1的正方体中，E为AD的中点．
(1)求四面体的体积；
（2）求四面体的体积．(2007年湖北省黄冈市数学高考模拟试题）提示:（1)．
（2）如图17，在平面ABCD 内,延长BA到点N，s使AN=,则NE∥，从而NE∥平面，

6.图18，在四面体ABCD 中，AB=a,CD=b,AB和CD的距离为d,问当棱AB与CD所成角θ为何值时，该四面体体积V有最大值,最大值是多少？

提示：过点作BE∥CD,并使BE：CD，那么∠ABE=θ，点D到平面ABE的距离就是AB和CD
的距离d．因此，

从而，当θ=90°时，即当对棱AB和CD垂直时，四面体体积V有最大值abd．