厦大离散数学期末试卷2009-试题+完整答案.doc

(完整版)厦大离散数学期末试卷2009 试题+完整答案厦门大学离散数学课程试卷软件学院2008年级主考教师：金贤安 试卷类型：（A卷)一、 选择题（共10题,每题3分，共30分)1、下列语句为命题的是（ ）.A勿踏草地；。B你去图书馆吗?;C月球上有水；D本命题为假。2 下列推理中,（ ）是错误的。A. 如果x是有理数，则它为整数。1/2是有理数。所以1/2是整数。B. 若周末气温超过30度，小红就去游泳.小红周末没去游泳。所以周末气温没超过30度。C. 下午小明或者去看电影，或者去打篮球。下午小明没去打篮球.因此下午小明去看电影了。D. 若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除.因此a能被4整除。3谓词公式中的x( ）。A只是约束变元B只是自由变元C既非约束变元又非自由变元D既是约束变元又是自由变元4。 下列关系中，（ ）不是等价关系。A. 非空集合的幂集的元素间包含关系；B. 集合之间的等势关系；C. 公式之间的等值关系；D. 图之间的同构关系.5。 下面等值式中,( ）是不正确的.A. B.C. D.6下列关于集合的势的叙述中，（ ）是错误的.A. 实数集比自然数集优势;B。 任一无限集合都存在与自己等势的真子集; C。 集合之间的优势关系是偏序关系；D。 有理数集比整数集优势.7设A,B,C是集合，F是关系，则下列式子中不正确的是（ ）。A B. C。 D。 8. 以下序列中，( ）是简单可图的。A. （4,4，3，3，2,2）； B. (3,3，3，1)； C. （5,4，3,2，2）； D. (6，6，3，2,2，2,1）.9. 下列叙述中错误的是( )。A n（n2）阶竞赛图都具有哈密顿通路；B 非平凡树不是欧拉图，也不是哈密顿图；C n(n3且为奇数)阶的二部图一定不是哈密顿图；D 欧拉回路包含图的所有顶点，哈密顿回路包含图的所有边.10下列关于图的连通性的叙述中正确的是( )。A. 有向图是连通的是指它是强连通的； B. 任一无向图的点连通度都不超过它的边连通度；C. 在一n阶圈Cn（n4)上任意去掉两个顶点得到得图都有2个连通分支; D. n阶无向完全图的点连通度为n;二、填空题（共8题，每题3分,共24分)1 令F(x）：x是汽车，G(y）：y是火车，H（x，y）：x比y快.则命题“不存在比所有火车都快的汽车符号化形式为_。2 公式的主析取范式为_。3 集合A=a，b，c,d上的等价关系共有_个.4 自对偶图的顶点数n和边数m之间满足关系式为m =_。5设T是有t片树叶的2叉正则树，则T应该有_个顶点。6P（，） = _，,_.7在1到100之间（包含1和100）即不能被2，也不能被3，还不能被5整除的自然数有_个。8“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”这三个命题的符号化分别为_ ， _ 和 _ .（请按顺序填写） 三、应用、计算和证明题（共6题，46分）1（6分） 在命题逻辑的自然推理系统中构造下面推理的证明.前提：(PQ）,QR，R结论：P 2（8分)设集合A=a,b，c，d，A上的关系R=，a，b，, 求：（1）画出R的关系图.(2分） （2）R的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系图.（2分，2分和2分)3（8分）设A,R为一偏序集，其中A=1，2，12,R是A上的整除关系。（1）画出A，R的哈斯图;（4分）（2）求A的所有极大元和极小元（2分）（3）求B=2，3,6的最小上界和最大下界（2分）。4。（8分）判断左图是否为欧拉图,若是,请给出一欧拉回路（用阿拉伯数字在边上标明顺序即可)；若不是，请说明原因;(4分）判断右图是否为哈密顿图，若是，请给出一哈密顿回路(用阿拉伯数字在顶点上标明顺序即可）；若不是，请说明原因(4分）； 5 （8分） 设G是无向简单图且（G）k2，试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回路（圈).6 （8分）在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中,应该有几片树叶？（2分）请画出所有这样的非同构的无向树。（6分）答案及评分标准一 选择题CDDAC DCADD二1。 或者2. 3。 154. m=2n-25。 2t-16. 7. 268。 （该小题每空1分）三1 （1) 前提引入 （2） 前提引入 (3） (1）(2）析取三段论 (4） 前提引入 （5） 置换(6） （3)（5）析取三段论若未注明推理规则，或标注有错,扣1分。2 （1） 如图1 （2) 该题要求画出三个闭包的关系图。 每个关系图2分,共6分. 边少画或多画一律判错.3 （1）如图2 （2）A的极大元有：7,8，9，10,11，12 A的极小元有：1 （3）B的上界是6,12，最小上界是6 B的下界是1,最小下界是1哈斯图中若出现水平的边，扣1分.4（分）(）判断下图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路（用阿拉伯数字在边上标明顺序即可）;若不是,请说明原因；（4分）答:因为该图是连通图且图中没有奇度顶点，所以该图是欧拉图(只要判断正确给2分）。欧拉回路标序如下图：10111213314找的欧拉回路正确再2分（2）判断下图是否为哈密顿图,若是，请给出一哈密顿回路(用阿拉伯数字在顶点上标明顺序即可）;若不是，请说明原因（4分）答：该图不是哈密顿图(2分).取，,，从图中删除，得五个连通分支，如下图所示，所以该图不是哈密顿图。（2分）另一证明：反证若有哈密顿圈,由于点5,7,9都是二度点，因此该哈密顿圈必包含边（4,5)（5,6）(6，7)（7,8)(8，9）（9，4)，这6条边构成一个圈，矛盾。1010（8分）设G是无向简单图且(G)k2,试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回路（圈)。证明：不妨设是连通图，若G不连通，因为的各连通分支的最小度也都大等于k，因而可对它的某个连通分支进行讨论。设u，v为G中任意两个顶点，由G是连通图，因而u,v之间存在路径，用“扩大路径法”扩大这条路径，设最后得到的“极大路径为t=v0v1vt,则tk，事实上若存在“极大路径” s=v0v1vs且sk，则v0只能与s中的顶点相邻，因为G为简单图,所以与v0相邻的顶点最多为s个,而sk，这与(G）k矛盾，所以“极大路径”长度大等于k.在t上构造圈，由于(v0）(G)k2，因而v0除与t上的v1相邻外，还存在t上的k-1个顶点与v0相邻，则为一个圈且长度大等于k+1。注意：也可直接设是G的最长路径.(8分)在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点,其余顶点都是树叶的无向树中，应该有几片树叶？（2分）请画出所有这样的非同构的无向树.（6分)答:设树叶有x片，则边数m=3+2+x1=4+x，由握手定理知，2m=2*（4+x）=d(vi)=32+2*4+x 解得x=6，所以应该有片树叶。共有十个非同构的无向树，如下：(1) 两个度点相邻的情况：(2) 两个度点中间有一个度点的情况：(3) 两个度点中间有两个度点的情况：(4) 两个度点中间有三个度点的情况：(请酌情扣分)9