苏教版初级中学数学直线方程.doc

直线的方程

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：
l 理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围；
l 能正确利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式公式求直线方程；
l 会把直线方程的一般式各种形式互化.
重点难点：
l 重点：直线的点斜式、斜截式、两点式、一般式的形式.
l 难点：直线的方程的推导过程及应用.
学习策略：
l 要学好本节内容，首先要明确平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素，即直线上一个定点和倾斜角（斜率），两点也可以确定一条直线。
二学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按 方向旋转到和直线 时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为 °，所以，倾斜角的范围是 ° °．
（二）直线的斜率
倾斜角不是 °的直线，它的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
（三）斜率公式
已知点、，且与轴 ，过两点、的直线的斜率公式
.
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
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知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一 及其 决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称 式.
要点诠释：
（1）点斜式方程是由直线上一 和 确定的，点斜式的前提是直线的_______存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即________不存在的直线；
（2）当直线的倾斜角为0°时，直线方程为_________；
（3）当直线倾斜角为90°时，直线没有 ，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:_________.
（4）表示直线去掉一个点；表示一条直线.
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的 ，方程由直线的 与它在轴上的
确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称 式.
要点诠释：
（1）b为直线在y轴上 ，截距可以取 实数，即可以为正数、零、负数；截距与距离不同，距离必须 零；
（2）斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；
（3）当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
（4）斜截式的前提是直线的___________存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即________不存在的直线.
（5）斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的 ，是直线在轴上的 .
知识点三：直线的两点式方程
经过两点（其中）的直线方程为 ，称这个方程为直线的两点式方程，简称
式.
要点诠释：
（1）这个方程由直线上 确定；
（2）当直线没有________()或_________为时，不能用两点式求出它的方程.
（3）()与范围不一样，后者范围小.
（4）直线方程的的表示与选择的_________无关.
知识点四：直线的截距式方程
若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为 ，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的 ，b叫做直线在y轴上的 .
要点诠释：
（1）截距式的条件是 ，即截距式方程不能表示过
的直线以及不能表示与坐标轴 的直线.
（2）求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在 轴上的截距；令y= 0得直线在 轴上的截距.
知识点五：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 ，这个方程（其中A、B ）叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
A、B 才能表示一条直线，若A、B 则不能表示一条直线.
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
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类型一：求规定形式的直线方程
例1.（1）求经过点A(2，5)，斜率是4直线的点斜式方程；
（2）求倾斜角是，在轴上的截距是5，直线的斜截式方程；
（3）求过A(-2，-2)，B(2，2)两点直线的两点式方程；
（4）求过A(-3，0)， B(0，2)两点直线的截距式方程.
思路点拨：
直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，要根据条件写出直线方程.
解：

总结升华：

举一反三：
【变式1】
（1）写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程；
（2）求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程；
（3）求过A(1，0)， B(0，-4)两点直线的截距式方程.
解：

【变式2】
写出下列点斜式直线方程：
（1）经过点，斜率是4；
（2）经过点，倾斜角是.
解：

类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例2.过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
思路点拨：因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k<0，再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.
解析：
解法一：

解法二：

解法三：

总结升华：

举一反三：
【变式1】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
解：

【变式2】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；
解：

类型三：斜率问题
例3.求过点，且与轴的交点到点的距离为5的直线方程.
思路点拨:要对直线是否存在斜率的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.
解：

总结升华：

举一反三：
【变式】求过点(1，3)且与原点距离为1的直线方程.
解：

类型四：截距问题
例4.求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
思路点拨：要对直线截距的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程，也可以用由图形性质，得到k=-1时截距相等，从而选用点斜式. 解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用函数.
解：

总结升华：

举一反三：
【变式】求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
解：

三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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（一）直线的确定：
一条直线可以由直线上 点与直线的 确定，也可以由 个不同的点确定．根据直线不同的确定方法，从而有不同的直线方程形式与之对应．
（二）直线方程的几种表达方式的选取：
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
（三）补充说明：
（1）在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
（2）截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．
（3）若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其中点为(x，y)，则x=，y=，称为中点公式，需熟练掌握．
（4）某点关于各轴及任意直线的对称点的坐标的求法需熟悉；有关光线的反射问题，最终都需转化为对称问题来解决．

成果测评
现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。

知识点：直线方程的几种形式
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#239775做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

自我反馈
学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

我的收获

习题整理

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所属类型或知识点
分析及注意问题
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错题

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知识导学：直线的方程（ID:#239775）
视听课堂：直线的方程（ID:#16993）

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对本知识的学案导学的使用率：
□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）
□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）
□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________

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