1、抽象函数单调性和奇偶性
1. 抽象函数的图像判断单调性
例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是( )
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
2、抽象函数的图像求不等式的解集
例2、已知定义在上的偶函数满足，并且在上为增函数。若，则实数的取值范围 .
二、抽象函数的单调性和奇偶性
1.证明单调性
例3．已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. .
求证： f
2、x)是R上的增函数.
解:设x1>x2因为，g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0。
故g(x1) > g(x2) >0。 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0，
> >0
- >0。
f(x1)- f(x2)=- =1--(1-)
=->0。可以推出：f(x1) >f(x2)，所以f(x)是R上的增函数。
例4．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。
证明：对一切有。且，令，得， 现设，则，，而
，设且，
则
，即为减函数。
2.证明奇偶性
例5．已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证
3、是偶函数。
分析：在中，令，得
令，得
于是，故是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例6．已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在上是减函数，
由得。
（1）当时，，不等式不成立。
（2）当时，
（3）当时，
，
综上所述，所求的取值范围是
四、不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的
4、函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。
例7．已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
解：设且， 则， ，则
，
， 故为增函数，
又
因此不等式的解集为。
五、综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。
例8.设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明；
（2）证明：在R上是增函数；（3）设， ，若，求满足的条件。
解：（1）令得， 或。
若，当时，有，这与当时，
5、矛盾， 。
（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由
，
（3）由得
得（2）
从（1）、（2）中消去得，因为
即。
例9. 已知是定义在上的奇函数，且,若时，有.（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+)＜f().
解：（1）设任意x1,x2∈［－1,1］,且x10
∴f(x2)+f(－x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在［－1，1］上是增函数.
（2）由不等式f(x+)＜f()得,解得－1
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