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函数的单调性及其应用
1 函数的单调性及其相应的结论
用导数可证得：
定理1 (1)函数在上分别是增函数、减函数(其图象如图1所示).

图1
(2)②当时，；
②当时，；
③当且时，；
④当且时，均有可能．
2 定理1的应用
2.1 推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论
高考题1 (2014年高考湖北卷第22题)为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)(文)求这6个数中的最大数与最小数；
(理)将这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
下面给出这道高考题的解法．
解 (1)增区间为(0,e)减区间为．
(2)(文)由(1)的结论还可证得结论：当时，．
由此结论，得．
又由幂函数、指数函数的单调性，得．
所以所求最大数与最小数分别是．
(由此解法还可得结论：若，则中的最大者、最小者分别是．)
(理)由(1)的结论可得．在此结论中，可令，得
②

由式②，还可得

再由(文)的解法可得，．
定理2 (1)若，则，且集合的各元素中最大者、最小者均唯一；
(2)若，则，且集合的各元素中最大者、最小者均唯一．
证明 对用数学归纳法来证．
(1)由定理1(2)②知，时成立．
②假设时成立：
若，则．
若，则

又因为

所以

(因为由定理1(2)②可得)
又因为

所以

(因为由定理1(2)②可得)
得时也成立．
所以欲证结论成立．
(2)①由定理1(2)②知，时成立．
②假设时成立：
若，则．
若，则

又因为

所以

(因为由定理1(2)②可得)
又因为

所以

(因为由定理1(2)②可得)
得时也成立．
所以欲证结论成立．
猜想 (1)若，则；
(2)若，则．
例1 设，求.
解 由定理2(2)，可得.
由指数函数是增函数，可得.
由幂函数是增函数，可得.
所以

(因为由定理1(2)②可得)
2.2 研究另3道高考题
高考题2 (2005年高考全国卷Ⅲ理科第6题)若，则( )
A. B. C. D.
根 C.由定理1(1)、图2及，可得选C.

图2
例2 (文献[1]变式题1)设，其中e为自然对数的底数，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
原解 因为，且，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以.
又，所以.
因此，，A正确.
订正笔误 原解的最后一行有误，应订正为“因此，，C正确”.
质疑 原解中的“”即“”是怎么来的？
简解 C.由定理1(1)及，可得选C.
注 简解也给出了的证明.
高考题3 (2001年高考全国卷理科第20题)已知是正整数，且.
(1)证明 (注：原题是“证明”，两者意义相同)；
(2)证明 .
证明 (1)略.
(2)即证.
设，得.
由，得，所以，即函数在上是减函数，所以，即欲证成立.
注 用同样的方法(但还须对由的分子得到的函数再求导)还可证得：若，则.
高考题4 (1983年高考全国卷理科第9题)(1)已知为实数，并且，其中e是自然对数的底，证明；
(2)如果正实数满足，且，证明.
证明 (1)由推论立得.

(2)由正实数满足，得.再由，得.
再由反证法及定理1(2)②可得欲证结论成立.
2.3 关于x的方程Z)根的个数
下面再用定理1来讨论关于x的方程
Z) ②
根的个数.
定理3 (1)若为奇数，则
(i)当且仅当时，方程②根的个数是0；
(ii)当且仅当或时，方程②根的个数是1；
(iii)当且仅当时，方程②根的个数是2.
(2)若为奇数，则
(i)当且仅当时，方程②根的个数是0；
(ii)当且仅当或时，方程②根的个数是1；
(iii)当且仅当时，方程②根的个数是2.
(3)若为非零偶数，则
(i)当且仅当时，方程②根的个数是1；
(ii)当且仅当或时，方程②根的个数是2；
(iii)当且仅当时，方程②根的个数是3.
(4)若为非零偶数，则方程②根的个数是0.
证明 (1)易知方程②的的根.
可设，可得均是正数.
还可得关于x的方程②根的个数即关于t的方程
是奇数;
也即
是奇数)
根的个数.
由定理1(1)及图1，可得
(i)当且仅当即时，方程②根的个数是0；
(ii)当且仅当或即或时，方程②根的个数是1；
(iii)当且仅当即时，方程②根的个数是2.
(2)易知方程②的的根.
可设，得.
还可得关于x的方程②根的个数即关于的方程
是奇数)
根的个数.
再由结论(1)可得结论(2)成立.
(3)易知方程②的的根.
可设，可得均是正数，.
还可得关于x的方程②根的个数即关于t的方程
是非零偶数;
也即
是非零偶数)
根的个数.
由定理1可作出函数的图象如图3所示：

图3
由图3可得
(i)当且仅当即时，方程②根的个数是1；
(ii)当且仅当或0即或时，方程②根的个数是2；
(iii)当且仅当即时，方程②根的个数是3.
(4)显然成立.
读者还可讨论关于x的方程
R)
根的个数(可参考上面的研究方法和文献[2]).
参考文献
1 何勇波.一道课本题根的推广与应用[J].数学通讯，2015(4下)：29-32
2 甘志国.幂、指函数图象交点个数的完整结论[J].中学数学月刊，2008(9)：30-32