人教版八年级上册13.1轴对称培优训练题(无答案).doc

人教版八年级上册13.1轴对称培优训练题（无答案）

轴对称
【例1】⑴ 图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且∠ABE=30°．分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为（ ）
A． B． C． D．

(2)如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
⑶已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则，，三点确定的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．腰底不等的等腰三角形 D．等边三角形

【例1】 ⑴ 如下图1，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是 ．
⑵ 如下图2，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是 ．
⑶ 如下图3，在中，，，，是的中点，求的度数．

【例2】 的两边和的垂直平分线分别交于点、，
⑴若BC=8，求△ADE的周长；
⑵若，求．
角平分线的两种基本模型
1． 点垂线，垂两边，对称全等要记全

已知：，，作于，则．
2．角平分线+平行线，等腰三角形必呈现

已知：，交于，
则为等腰三角形（即）．

夯实基础
【教师铺垫】证明：
(1) 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为三角形的内心）．
(2) 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．

【例3】 ⑴ 如图，已知的周长是，，分别平分和
，于，且，求的面积．

⑵ 如图所示，，，.
求证：.

能力提升
【例4】 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E，连接AE,求证：
⑴∠EAD=∠EDA；
⑵DF∥AC；
⑶∠EAC=∠B．
【例6】、如图，D为等边△ABC边BC上任一点，以AD为边作等边△ADE.
（1）求证：CD+CE=AC；
（2）求∠ACE的度数.

转化发散：如图，若D为等边△ABC边BC延长线上（或反向延长线上）任一点，其它条件不变，试问：结论（1）、（2）是否仍然保持不变？

【例7】、如图，D为等边△ABC边BC上任一点，∠ADE=∠ACE=60°，求证：△ADE为等边三角形；

转化发散：如图，若D为等边△ABC边BC延长线上（或反向延长线上）任一点，其它条件不变，试问：结论（1）、（2）是否仍然保持不变？

课后练习
1、如图，等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD、BE交于F点，连接CF.
（1）若CF⊥AD，求证：AF=2BF；
（2）连接CF，若AF=2BF，求证：CF⊥AD；

2、如图，在△ABC中，∠B=45°，D为BC上一点，∠ADC=60°，CD=2BD，求∠C的度数.

【基本图形一】

特征：如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC，∠B=∠C.
【解析】∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴∠B=∠C（等边对等角）
备注：等腰三角形的相关知识将在下节课讲解，但线段垂直平分线的知识点与等腰三角形结合紧密，老师可以适当提前渗透，否则此步可用全等证明．
【变式一】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB,.AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E.线段AB与CD相等吗？试说明理由．

【分析】添辅助线往往是具有基本图形的条件，而基本图形不完整时补完整基本图形，因此首先连接AD，即出现基本图形一
【解析】连结AD，根据垂直平分线性质易得∠C=∠DAC，
又∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
由已知∠ABC=2∠C，∴∠ADB=∠B，
∴AB=AD ，又∵AD=DC，
∴AB=CD

【基本图形二】

特征：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的高．问图形中有哪些相等的线段（除AB=AC外），相等的锐角？
相等的线段：AD=BD=DC；
相等的锐角：∠B=∠1=∠2=∠C．
【解析】∵AB=AC 且AD是BC边上的高，
∴Rt△ABD ≌Rt△ACD (HL)
∴AD是BC边上的中线，且∠1=∠2=∠BAC=45°
即△ABC△ABD以及△ACD都是等腰直角三角形
∴AD=BD=DC
∴∠B=∠1=∠2=∠C．

【基本图形三】

特征：如图，点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA，垂足分别为D、C．问图中有哪些相等的线段，相等的锐角？
相等的线段：OD=OC，DP=CP；
相等的锐角：∠DOP=∠COP，∠OPD=∠OPC．
【解析】∵点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA
∴PD=PC (角平分线上的点到角两边的距离相等)
易证△ODP ≌△OCP（AAS）
可得∠OPD=∠OPC ，OD=OC

【基本图形四】

特征：如图，AD是∠BAC的角平分线，DB⊥AB、DE⊥AC，垂足分别为B、E．本图形包含了基本图形三，因此具有基本图形三的一切性质．
【演变一】当∠C=30°时，
图形中相等的线段有：AB=AE=EC，BD=DE，AD=DC
相等的锐角有：
∠BAD=∠DAE=∠C，∠BDA=∠ADE=∠EDC=∠BAC
【变式二】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．
⑴DE和CD相等吗？为什么？
⑵∠1=∠2吗？为什么？

【解析】⑴由基本图形三 易得DE=CD；
⑵∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，故∠CAD=∠BAD=30°
又∵DE⊥AB，∴∠1=60°，∠2=60°
故∠1=∠2

【演变二】当∠C=45°时，
图形中相等的线段有：AE=AB，CE=DE=BD
相等的锐角有：
∠C=∠BAC=∠EDC，∠BAD=∠DAE，∠BDA=∠ADE
B
【变式三】如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．试说明AC=AB+BD的理由．
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