1、函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称：函数关于对称也可以写成 或 若写成：，则函数关于直线 对称 证明：设点在上，通过可知，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。说明：关于对称要求横坐标之和为，纵坐标相等。 关于对称，函数关于对称 关于对称，函数关于对称 关于对称，函数关于对称（2）函数的点对称：函数关于点对称 或 若写成：，函数关于点 对称 证明：设
2、点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，而点与关于对称得证。 说明: 关于点对称要求横坐标之和为,纵坐标之和为,如 之和为 。（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数yfg(x)为偶函数，则fg(x)fg(x)。复合函数yfg(x)为奇函数，则fg(x)fg(x)。性质2、复合函数yf(xa)为偶函数，则f(xa)f(xa)；复合函数yf(xa)为奇函数，则f(xa)f(ax)。性
3、质3、复合函数yf(xa)为偶函数，则yf(x)关于直线xa轴对称。复合函数yf(xa)为奇函数，则yf(x)关于点(a,0)中心对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。总结：x的系数同为为1，具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、与关于X轴对称。证明：设上任一点为 则，所以经过点与关于X轴对称，与关于X轴对称.注：换种说法：与若满足，即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。证明：设上任一点为则，所以经过点 与关于Y轴对称，与关于Y轴对称。注：因为代入得所以经
4、过点换种说法：与若满足，即它们关于对称。 3、与关于直线 对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于轴对称，与关于直线 对称。注：换种说法：与若满足，即它们关于对称。4、与关于直线对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于轴对称，与关于直线对称.注：换种说法：与若满足，即它们关于对称。5、关于点(a,b)对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于点(a,b)对称，关于点(a,b)对称.注：换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。6、与关于直线对称。证明：设上任一点为则，所以经过点,经过点,与关于直线对称，与关于直线对称。三、总规律：定义在上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性
5、质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、 周期性： （1）函数满足如下关系式，则 A、 B、 C、或（等式右边加负号亦成立） D、其他情形 （2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足则可以推出其周
6、期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。定理1：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理2：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理4：若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理5：若函数f(x)的图像关于点（a,c）和(b,c)都成中心对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理6：若函数f(x)关于点（a,c）和x=b都对称，则f(x)是周期，4（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理7：若函数f(x)满足f(x-a)=f(x+a)(a0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。定理8：若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0)(或f(x+a)=或f(x+a)=)则f(x)周期函数，2a是它的一个周期。定理9：若函数,则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期。若f(x)满足,则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。6 / 6
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