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奇数与偶数学生版

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5-1奇数与偶数

教学目标

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析〞局部，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算,拿到一个题就先去试数，或者是找规律,在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力,培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做〞的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到,但不会单独出题,而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

知识点拨

一、奇数和偶数的定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用２k〔k为整数)表示,奇数那么可以用2k+1(k为整数)表示。特别注意因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质
性质1:偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 　
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3:偶数个奇数的和或差是偶数
性质４:奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数
三、两个实用的推论
推论１：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论２:对于任意2个整数ａ,b ,有a＋b与a－b同奇或同偶

例题精讲

模块一、奇数偶数根本概念及根本加减法运算性质
【例 1】 的和是奇数还是偶数?

【巩固】 得数是奇数还是偶数？　

【巩固】 得数是奇数还是偶数?

【例 2】 的计算结果是奇数还是偶数，为什么？　

【巩固】 的和是奇数还是偶数?为什么?　

【巩固】 东东在做算术题时,写出了如下一个等式:，他做得对吗？　

【例 3】 能否在下式的“□〞内填入加号或减号,使等式成立，假设能请填入符号，不能请说明理由
(１)１ □ 2 □ ３ □ ４ □ 5 □ 6 □ 7　□ 8 □ 9＝10
(２〕１ □ 2 □ 3 □ ４ □ 5 □　6　□ 7 □ 8 □ 9＝27

【例 4】 能否从四个3,三个５,两个７中选出５个数，使这5个数的和等于2２.

【巩固】 能否从、四个6，三个１０，两个１4中选出５个数，使这5个数的和等于4４.

【例 5】 一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘,所得的两个积相差15０，那么这个数是多少？

【巩固】 一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘,所得的两个乘积相差80,那么这三个偶数的和是多少？

【例 6】 多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共２8张，每张牌上的两个１×1正方形中刻有“点〞，点的个数分别为0，1，2，…,6个不等,其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1,…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样,所谓连牌规那么是指：每相邻两张牌必须有一端的点数一样，且以点数一样的端相连，例如:

现将一付多米诺骨牌按连牌规那么连成一条链，如果在链的一端为６点,那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．　

【巩固】 一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+１段，线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？　

模块二、奇偶运算性质综合及代数分析法
【例 7】 是否存在自然数a和b，使得ａb(a+b)＝1１５？　

【巩固】 是否存在自然数a、ｂ、c,使得〔a-b)(b-c)(a-c)=４５3２7?　

【巩固】 a、b、ｃ三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？　

【例 8】 a,b,c中有一个是511,一个是6２２，一个是793。求证：是一个偶数

【巩固】 小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式:

但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明的结论吗？

【例 9】 设，　 ,　　, ， ， , 都是整数,试说明：
在中，必有奇数个偶数．　

【例 10】 有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于4，数与最大数的乘积是一个奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．

【例 11】 甲、乙两个哲人将正整数5至1１分别写在7张卡片上．他们将卡片反面朝上,任意混合之后,甲取走三张,乙取走两张.剩下的两张卡片,他们谁也没看，就放到麻袋里去了.甲认真研究了自己手中的三张卡片之后,对乙说:“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．〞试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．

【例 12】 甲同学一手握有写着２3的纸片，另一只手握有写着32的纸片.乙同学请甲答复如下一个问题:“请将左手中的数乘以3,右手中的数乘以2，再将这两个积相加,这个和是奇数还是偶数？〞当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗?

【例 13】 在一张行列的方格纸上,把每个方格所在的行数和列数加起来,填在这个方格中,例如．问:填入的个数字中是奇数多还是偶数多？

【巩固】 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：.问填入的81个数中是奇数多还是偶数多?

模块三、奇偶模型与应用题
【例 14】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上等于．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来,请说明理由．

【例 15】 你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中,使得每一行中的三个数之和都是偶数

【巩固】 你能不能将整数数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数?

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【例 16】 任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数,原三位数与新三位数之和能否等于999？

【巩固】 两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是73５6吗?为什么？

【例 17】 有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、８这四个数吗?

【巩固】 数列，，，，，,，,,，的排列规律是前两个数是，从第三个数开场,每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列,在斐波那契数列前个数中共有几个偶数？

【巩固】 黑板上写着两个数1和2，按以下规那么增写新数,假设黑板有两个数a和b,那么增写ａ×ｂ＋a+ｂ这个数，比方可增写５(因为１×2＋1＋2＝5)增写11(因为1×５＋1+5＝11),一直写下去，问能否得到2０08，假设不能，说明理由,假设能那么说出最少需要写几次得到？

【例 18】 在一次聚会时,朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好.主人很快乐，笑着说：“不管你们怎样握手,你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．〞请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢?

【巩固】 元旦前夕,同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

【例 19】 桌子上有６只开口向上的杯子,每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过假设干次翻动,使得全部杯子的开口全都向下?

【巩固】 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过假设干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？

【巩固】 桌子上有6只开口向上的杯子,每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过假设干次翻动,使得全部杯子的开口全都向下？　

【例 20】 在８个房间中有7个房间开着灯，1个房间关着灯.如果每次拨动４个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上?为什么？　

【巩固】 沿着河岸长着8丛植物,相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有22５个浆果?说明理由.　

【例 21】 四个人一道去郊游,他们年龄的和是９７岁,最小的一人只有10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁．问:⑴ 年龄最大的人是多少岁？⑵　另外两人的岁数的奇偶性一样吗？

【例 22】 在“〞的方格中放棋子，每格至多放枚棋子.假设要求行、列、条斜线〔如下图)上的棋子数均为偶数.那么“〞的方格中最多可以放多少枚棋子?

【例 23】 有8个棱长是1的小正方体,每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字１，第二组相对的面上都写着数字2,第三组相对的面上都写着数字３(如图)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问:是否有一种拼合方式,使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?

【例 24】 圆桌旁坐着2k个人,其中有ｋ个物理学家和k个化学家,并且其中有些人总说真话，有些人那么总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多.又当问及：“你的右邻是什么人〞时，大家全部答复:“是化学家〞那么请你证明：k为偶数.

【例 25】 有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出3个球,如果发现三个球中有两个球的颜色一样,就将第三个球放还回口袋,如果三个球的颜色各不一样，就往口袋中放一个黄球,原来有红球4２个、黄球2３个、蓝球４3,那么取到不能再取的时候,口袋里还有蓝球,那么蓝球有多少个？　

模块四、整数的奇偶性分析法
【例 26】 一个图书馆分东西两个阅览室.东阅览室里每张桌子上有2盏灯.西阅览室里每张桌子上有3盏灯.现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数.问：哪个阅览室的桌子数是奇数？

【巩固】 四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共5０道,评分标准是：答对一道给3分,不答给１分,答错倒扣１分.请你说明:该班同学的得分总和一定是偶数．

【例 27】 师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里,师傅的产量是徒弟的２倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只,94只,86只,87只，82只,8０只.根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?

【例 28】 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去,最后得到６６，88,237．问:原来写的三个整数能否为1,3，5?　

【例 29】 苹果,梨，橘子三种水果都有许多,混在一起合成一大堆.最少要分成多少堆(每堆都有苹果，梨子和橘子三种水果)才能保证找到这样的两堆,把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数？

【例 30】 有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、、14页和１5页的稿纸,如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？

【例 31】 有一个袋子里装着许多玻璃球.这些玻璃球或者是黑色的,或者是白色的.假设有人从袋中取球,每次取两只球.如果取出的两只球是同色的，那么,他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只球是异色的,那么，他就往袋里放回一只黑球.他这样取了假设干次以后,最后袋子里只剩下一只黑球.请问：原来在这个袋子里有奇数个还是偶数个黑球？

【巩固】 有大、小两个盒子，其中大盒内装1０01枚白棋和１000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋.康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：假设摸出的两枚棋子同色，那么从小盒内取一枚黑子放入大盒内；假设摸出的两枚棋子异色，那么把其中白棋子放回大盒内.问:从大盒内摸了199９次棋子后,大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色?