立体几何难题解析附有答案详解.doc

立体几何试题分析
[设计思路]围绕前两年高考试题的类型以及常考的知识点和解题方法设计，通过对2005和2006浙江省立体几何试题及2006年部分省市的试题的研究大致预测2007年立体几何试题的类型。
[设计理念]略
[考点回顾] 常考的知识点有线面平行、垂直；两个平面垂直的判定和性质；线线角、线面角、二面角；向量坐标运算；线面角公式、二面角公式、点到平面的距离。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力。
一、2005——2006浙江省试题分析
1、（2005浙江18）．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：∥平面
(Ⅱ) 当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

[简析]：本题考查的知识点有：线面平行的判定；线线角、线面角、二面角；两个平面垂直的判定和性质；向量坐标运算；线面角公式。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力。
[试题结构]： 以底面是等腰直角三角形的三棱锥为载体结合线面垂直，以及面面垂直，证明线面平行，求线面角，并由点的垂足的位置确定参数的值。
1、（2005浙江18）．解：

2、（2006浙江17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，
⊥底面，且，M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 求与平面所成的角。

[简析]：本题考查的知识点有：空间线线、线面关系、空间向量的概念；。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力。
[试题结构]：以底面是直角梯形的四棱锥为载体，结合线面垂直及特殊的线段长度关系，证明两异面直线垂直，并求线面角。
2、（2006浙江17）解：方法一：（I）因为是的中点，，所以.
因为平面，所以，
从而平面.
因为平面，所以.
（II）取的中点，连结、，则，
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.
因为平面，
所以是与平面所成的角.
在中，.
故与平面所成的角是.
方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则
.
（I） 因为，所以
（II） 因为，
所以，又因为，所以平面
因此的余角即是与平面所成的角.
因为，所以与平面所成的角为.

二、2006年其他省市（部分）试题分析
1，（福建18）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。

[简析]：本题考查的知识点有：直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离。考查的（能力）方法有：逻辑推理能力；空间想象能力和运算能力。
[试题结构]：以一个特殊结构的四面体（三棱锥）为载体，考查线面垂直，并求两异面直线所成的角和点到平面的距离。

1、（福建18）解： 方法一：
（I）证明：连结OC

在中，由已知可得
而 即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，

是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。
又 点E到平面ACD的距离

三、2007年试题的结构（仅仅是可能性）
要点：根据对前两年的高考试卷的分析并结合我们的体会，我们认为2007年的立体几何大题，可以从这几个方面来考虑，首先以什么为载体，是锥体还是柱体，若是锥体，那么是三棱锥呢还是四棱锥？若是柱体呢？已经有好几年考锥体了，今年考柱体的可能性是否在增大呢？但这载体其实不是最重要的，最重要的是由哪些知识点组合给出题目的条件，一般来讲，给出线面垂直，面面垂直这样的关系是比较常见的，也可以结合线面关系和面面关系（如平行、垂直）。前面的三个例子都是这样的。再者求（证）什么？证明的一般是线面平行或线面垂直、线线垂直，少数情况下证明面面垂直。所求多数情况下是线面角、二面角，距离，当然两条异面直线所成的角有时也会考的。距离这个内容浙江省已经有几年没考了，这并不说明它不重要，其他省去年也有考（如福建）。今年会不会考？我们认为可能性比较大，那么考什么距离/线面距离、面面距离还是点面距离，由于立体几何中的五个距离都可以转化为点面距离，并且用向量运算时点面距离有公式可用，因此若考距离，则点面距离考的可能性相对较大。

[例题]：
如图，直三棱柱中，，为的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求到平面的距离；
（Ⅲ）求与平面所成的角.

解（Ⅰ）由已知此三棱柱为直三棱柱，∴⊥，又∵，故， ⊥，
于是 ⊥平面，∴。
（Ⅱ）∵∥ 且 = ∴ ⊥平面 ，于是点平面的距离为2 ，而为中点，∴ 到平面的距离为1 。
（Ⅲ）由⊥平面 得到 平面⊥平面 ， 取中点 ，
∵ ∴ ⊥ ， ∴⊥平面 ∴∠就是与平面所成的角.而∠=，因此 与平面所成的角是。
解：（向量法）由已知可分别以、、为、、轴，以点为原点。则各点的坐标分别是 ， ， ， ， ，
（Ⅰ） ， ∴，从而
（Ⅱ）因为 是的中点，∴ ， 而平面的法向量是，∴到平面的距离
（Ⅲ）由，，设平面的法向量是 ，则
有 以及 得 。另一方面， 设与平面所成的角为 ， 则 ， 所以=，即 与平面所成的角是。

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