空间几何体的表面积教案王祥富.doc

个人收集整理 勿做商业用途
“空间几何体的表面积”教学设计
扬州中学 王祥富
一、教材分析:
1．地位与作用:空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识;空间几何体的表面积问题是通向高等数学的一个生长点，一些曲边形的面积问题要运用积分的思想，这是渗透积分思想的一个很好载体；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，在积分的思想之下我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。
2．重点、难点：展开侧面,分析侧面展开图的性质；积分思想的渗透; 理解柱、锥、台之间的辨证统一；
二、教学目标：
1．知识与技能目标:了解柱、锥、台的表面积的计算公式，领会柱、锥、台的表面积计算公式推导的数学思想，并能运用公式解决一些数学问题.
2．过程目标：学生自己经历公式的推导过程,并借此领会相关的数学思想的作用。让学生猜测圆台侧面积公式,体会积分思想的意义。
3．情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，让学生有更多的数学把握感，增强学生能学好数学的自信心。
三、设计思想：
本节课如果仅仅从知识与技能目标来说，只需要把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求.这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会,就失去让学生体会数学美的机会,这不符合新课程改革精神的要求，也不符合数学课程自身发展的规律。所以，在教学过程中,要提炼“立体问题平面化”的数学思想，要让学生体会棱柱、棱锥、棱台的统一美,渗透积分思想，进而让学生体会柱、锥、台之间的高度统一。
四、教学手段:
1．运用ppt制作课件,做到图文并茂，激发学生思维的兴趣。
2．运用几何画板制作课件，创设探求空间，展现思维过程。
3．运用Flash软件制作课件，展现分割过程，激发学生思维.
4．充分运用身边的几何体辅助教学。
五、教学过程：
1．创设问题情景引入课题
问题:底面半径为r,母线长为l的圆锥的表面积如何求？
r
l

学生分析表面积为侧面积和底面积之和，其中底面积为,侧面积为多少呢？学生感觉有难度.
师：你感觉难度在什么地方?生：这个面积问题是一个空间的曲面的面积问题。师：（引导）你现在能解决哪些图形的面积问题？生:三角形，长方形，正方形，梯形，圆，扇形等.师：与上面的空间曲面做比较,这些图形都是一些什么图形？ 生：都是一些平面图形。师：现在要解决圆锥的侧面积，你有什么想法?生：把这个空间曲面转化为一个平面。师：怎么转化？学生都说要把它沿着一条母线剪开.师：剪开后是一个什么图形？学生说是一个半径为的扇形.（展示实物）
这样，学生都能体会立体问题平面化的思想，实现这一思想的方法是沿母线剪开变成一个可以解决的扇形的面积问题。
这一节课我们就来研究空间几何体的表面积问题。
2．教学过程
寻找下面图形的平面展开图

空间几何体有很多，在高中阶段我们主要研究多面体和旋转体的表面积,刚才我们分析可知，表面积分为侧面积和底面积，其中底面积是平面图形的面积问题,我们能够解决，所以我们今天重点解决几何体的侧面积问题。

向学生展示这样一个棱柱,它的侧棱和底面垂直,询问学生这个棱柱的侧面是什么图形？这些图形有什么特点？（学生分析）
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱。
如果直棱柱的底面是一个正多边形，它的侧面是什么图形？这些图形有什么特点？（学生分析）
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
棱柱两个底面之间的距离叫做棱柱的高
直棱柱的高：就是侧棱长。
问题：已知直棱柱的底面周长为，高为，这个直棱柱的侧面积是多少？
分析它的侧面的平面展开图形是什么图形?(学生思考，画图)
生：这是一个长为，宽为的矩形，所以它的侧面积为
c
h

向学生展示这样一个棱锥，它的底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心，询问学生这个棱柱的侧面是什么图形？这些图形有什么特点？(学生分析）
斜高
高
H

正棱锥：底面是正多边形,顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的高：顶点到底面的距离，即顶点与底面中心的距离。
正棱锥的斜高：侧面等腰三角形底边上的高。
问题:已知正棱锥的底面周长为，斜高为，这个正棱锥的侧面积是多少？
分析它的侧面的平面展开图形是什么图形？(学生思考，画图）
h’
生：，等腰三角形的顶点在同一个公共顶点，依次排列而成的图形。它的侧面积为

向学生展示这样一个正棱锥，用一个平行与它的底面去截这个正棱锥，得到一个棱台，询问学生这个棱台的侧面是什么图形？这些图形有什么特点？（学生分析)
斜高

正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截， 截面和底面之间的部分叫做正棱台。
正棱台的斜高：侧面等腰梯形的高。

问题:已知正棱台的上底面周长为，下底面周长为，斜高为，则这个正棱台的侧面积是多少?
分析它的侧面的平面展开图形是什么图形？（学生思考，画图）

生:可以看成等腰梯形的面积之和
正棱柱、正棱台、正棱锥三者的侧面积公式之间有什么关系呢？

正棱锥可以看成是正棱台的的上底面收缩为一点，正棱柱可以看成是正棱台的上底面变成和下底面一样大的情况.由此可知，正棱柱和正棱锥是正棱台的特殊情况，因而它们的侧面积公式是统一的。
问题：已知圆柱的半径为,母线长为，则这个圆柱的侧面积是多少?

分析它的侧面的平面展开图形是什么图形?(学生思考，画图)
生：它的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形，所以
问题：已知圆锥的半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是多少？
生：它的侧面展开图形是一个半径为的扇形,。

师：我们可以把这个扇形分成若干个全等的小扇形,当小扇形的弧长非常小的时候，弧长接近弦长，母线长可以近似看成小等腰三角形的高,小等腰三角形的面积为，把无数多个小等腰三角形的面积相加得到。
这种处理问题的思想就是积分的思想。
运用这种思想我们来研究圆台的侧面积。
问题：已知圆台的上底半径为，下底半径为，母线长，则这个圆台的侧面积是多少？

师：这个图形我们分割可以近似得到无数个什么图形?
生：等腰梯形。
师：你能猜测这个圆台的侧面积公式吗？
生：
圆柱、圆锥和圆台侧面积公式的关系:

由此，我们可以进一步体会柱、锥、台侧面积公式之间的统一性。
例题：
例1．设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是1m,底面的边长是1。5m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板?
分析：本题即计算正四棱锥的侧面积。
解：如图，S表示塔的顶点，O表示底面的中心，则SO表示高，设SE为斜高.
在Rt△SOE中,，所以。
变式:把底面的边长是1。5m变为侧棱长1.25m。答案为。
注： 在三棱锥S-OEF中,四个三角形△SOE、△SOF、△SEF、△OEF都是直角三角形.

S
O
E
F

例2．（1)有一根长为4cm,底面半径为 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕1圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米?
（2） 若把1圈变为2圈，则铁丝的最短长度为多少厘米?
A
B
A
B

A
B

分析：这个问题也应该用“平面化”的思想来解决
解：问题1学生想到把圆柱表面展开成一个平面矩形，最短距离是AB的长度为cm。
问题2有些同学还模仿问题1把圆柱表面展开,遇到了求两段长之和最短的问题，这个问题不易解决，所以应该换个思路，可以看成把圆柱体在平面上旋转展开来理解，最短距离应该是AB的长度为cm。
例3．画出下列图形的立体图

A
F
E
C
D
B

思考：
如图：圆锥的半径r=1，l=2，OA、OB为母线，AB为底面圆直径,M为OB的中点，求：
（1)在圆锥的侧面上从A到M的最短距离；
（2)由OA、OB和最短线路构成的图形的面积。
解：(1)即为AM=cm.
（2）即为三角形AOM的面积为平方厘米。
O
A
B
M

3．课堂小结：
（1）（柱、台是上下两个底面）
（2)侧面积的算法:
思想:立体问题平面化
公式：

4．作业:
P53 练习:1、6
P60 习题：1