第二章线性方程组的解法new.doc

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Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.第二章 线性方程组的解法

基本解法迭代法和直接法。
直接方法大家已学过,我们重在分析程序写法。

§1 雅可比（Jacobi）迭代法
例: 求解线性方程组

分离出、、，构造迭代

取初值
得到近似解
准确解为
思路和方程迭代解法一样

极限存在 极限为根
线性方程组

矩阵

当 极限存在就是方程组的解,
本方法也适用于非线性方程组

迭代 极限存在 极限即为解

程序思想：
定义数组 A（n,n) X0（n) X（n） B（n）
读入组数 A B X0 (初值）
Do 100 k=1，10
Do 200 i=1，n
三重循环
200 CONTINUE
DO 300 i=1，n
300 X0（i）=X(i）
100 WRITE(＊，*）X
Stop
End
§2 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法
对雅可尔迭代稍加改进 就可得到更有效的计算公式
Jacobi迭代中，第次迭代时，都用的是第次迭代结果
例如
在此之前 到已经迭代出第k+1次结果。
我们用已有的到新值，可改造为

高斯-塞德尔迭代法
程序更简单：
定义数组 A(n,n） X0（n) X（n) B(n)
读入组数 A B X0 (初值）
Do 100 k=1，10
Do 200 i=1，n

三重循环
200 CONTINUE
DO 300 i=1，n
300 X0（i）=X（i）
100 WRITE（*,*)X
Stop
End

§3 超松驰迭代法
我们要解的方程组是 矩阵形式

有初值

有一残余误差

上式w前应为“—”，若极限存在则B—AX（0）为零
将b的残余误差用来修正X,数学家也很伟大
当极限，极限即解 为什么收敛极限即解？
迭代公式:

注意可以，且必须含有该项
或
以上两式迭代有何异同？
当时

w减少 倍 不影响思想
可以证明 保证迭代收效 必须要求
低松弛法 超松弛法

迭代法的收放性
定理 所有迭代都可写成矩阵形式

对任意初值问差及任意
迭代收放的充要条件是:

为方阵B的特征值

定理（充分条件）
对任意收敛
对角元点优
对间钱上元素绝对值大于同行元素绝对值之和.
AX=b 则Jacobi Gauss-Seidel都收敛。

§4 高斯消去法

消去②中的
消去③中的

即消第i行的

经过上式得零。
或 直接让为零.

经过k—1次消元

第k次

消 用第k个方程消其下边方程中的
消第i个方程中的
消第i个方程中的时第i个方程中各项相应变化
当j=k时
或 消第i个方程中的时第i个方程中各项相应变化
强行让
DO 100 k=1, n-1
DO 200 i=k+1， n

DO 300 j=k，n

300 CONTINUE
200 CONTINUE
100 CONTINUE

回代过程

程序结构:

DO I=N—1，1,—1
T=0。0
DO J=I+1，N
TT+
ENDDO

ENDDO

列主元素消去法
高斯消去法 碰到为零或很小时，消去无法进行.
人手工解时无所谓，为零更好该方程省得去消，但程序计算就不能进行
列主元素消去 调换方程顺序 注意调换方程顺序并不会改变未知数顺序
例 ：
每次作消去时，判断不为零的剩余方阵第一列水最大。
比如做第k次消元（消）剩余k 乘 k 矩阵，则判断谁最大。
判断大小,只记最大位置
比如最大， 则用它去消剩余的。
为了程序设计方便我们将第m个方程移到第i个,一次下移。
或更简洁地将第i个与第m个进行对换。
必需作

注意：X矩阵不用变化。为什么？调整方程顺序,未知数的位置并不变。
这样一来程序上要做一些变化，在消之前加判断大小和跳换位置
加在***＊*＊*＊处 回代过程不变

DO 100 k=1， n-1
＊*＊**＊＊*＊*
DO 200 i=k+1， n

DO 300 j=k,n

300 CONTINUE
200 CONTINUE
100 CONTINUE
回代过程不变

完全主元素消去法

在A中找最大元素， 将该元素换到第一行第一列。
这样方程调顺序未知数亦调顺序.
做到第k次时
在剩余的方阵元素中找最大的再调整方程顺序
未知数顺序
特别注意 前几个方程的系数、未知数还要调整顺序。
未知数位置的变化必须记住，打印结果时要还原顺序.
回代过程不变。

§5 追赶法

消元，变成：

第一步给原方程组的方程1 除以b1，变成：

第二步,给上方程组变成：

、
第i 步，给方程组中第i—1个方程乘以,加到方程i，再除以.

回带过程也比较简单

归结为:
消元：

回带：