常用逻辑用语同步测验(教师版).doc

常用逻辑用语同步训练
一、基础知识：
知识点一：命题
1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.
（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理
等都是真 命题
（3） 命题“”的真假判定方式：
① 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出.
② 若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
2. 逻辑联结词：
　“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.
（2）复合命题的构成形式：
　　 ①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.
（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：

非

真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
　 ①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
　 ②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
　 ③“非p”与p的真假相反.
　注意：
（1）逻辑 连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立
且q不成立， 二是p不成立但q成立 ，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.
（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.
（3） 对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

典型例题
例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。
（1）矩形难道不是平行四边形吗？（不是）
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（不是）
（3）若2a+4>0,则a>-2. （是）
（4） （不是）
（5）平行四边形的两组对边分别平行。（是）
例2、下列命题是真命题的为（ A ）
A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则
例3、已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的
（ D ）
A． B． C． D．
例4、若是真命题，是假命题，则（ D ）
（A）是真命题 (B)是假命题 (C)是真命题 (D)是真命题
知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：
　　原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；
　　否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.
2. 四种命题的关系：

　　①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
　　②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
　 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

典型例题
例5．写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及
命题的否定，并判其真假。
解: 逆命题：若，则或，是真命题；
　　 　否命题：若且，则，是真命题；
　　　 逆否命题：若，则且，是真命题。
　　　 命题的否定：若或，则，是假命题。
例6. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
　　解析： 逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；
　　 　　　否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；
　　 　　　逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。

知识点三：充分条件与必要条件：
1. 定义：
　　对于“若p则q”形式的命题：
　　①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
　　②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
　　③若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
2. 理解认知：
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，
再用结论 推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.
“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
3. 判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与；与；与的等价关系，对于
条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
　(3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且
BA，即AB.
　　如图：“”“，且”是的充分不必要条件.
　　“”“”是的充分必要条件.

典型例题

例7、下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 （ A ）
（A）p: ＞b+d , q: ＞b且c＞d
（B）p: a＞1,b>1 q: 的图像不过第二象限
（C）p: x=1, q:
（D）p: a＞1, q: 在上为增函数
例8使成立的充分而不必要的条件是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
例9．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ A ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例10、“|X|=|Y|”是“X=Y”的 （ A ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

知识点四：全称量词与存在量词：
1. 全称量词与存在量词：
（I) 全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,
“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有
存在量词的命题，叫做特称命题　特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示
为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定：
（I）对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。
（II）对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p：：，他的否定： 特称命题的否定是全称命题。
注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一
次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
（2）一些常见的词的否定：
正面词
等于
大于
小于
是
都是
一定是
至少一个
至多一个
否定词
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
一定不是
一个也没有
至少两个
典型例题
例11．已知命题：，，那么命题为 （ C ）
A．， B．， C．， D．，
例12．已知命题 ，，那么命题为 （ B ）
A． B． C． D．
例13．下列命题中的真命题是 （ D ）
A．使得 B．
C．使得 D．
例14．已知命题：，，那么下列结论正确的是 ( B )
A．， B．，
C．， D．，

知识点五：求参数的取值范围：
例15.已知p：，q：，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围.

例16．命题p：关于x的不等式对任意恒成立； 命题q：函数在R上递增。若为真，而为假，求实数的取值范围。

二、题型分析
题型一：命题、真命题、假命题的判断
例1：下列语句是命题的是 (　A　)
A．梯形是四边形　　B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗
例2．下列说法正确的是 (　B　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
变式练习：下列命题是真命题的是 (　D　)
A．{∅}是空集 B.是无限集
C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数
题型二：复合命题的结构
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)6是12和18的公约数； (真）
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；（真)
(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. （假）

变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：
(1)若整数a是偶数，则a能被2整除； （真）
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（假）
(3)相等的两个角的正切值相等．（假）

题型三：命题真假判断中求参数范围
例4、已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．

题型四：四种命题的等价关系及真假判断
例5．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题 (　D　)
A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题

例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是 (　B　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是 (　C　)
A．若x≤y，则x2≤y2 B．若x>y，则x2题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为__‚ƒ______．
变式练习．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的 (　B 　)
A．逆命题 B．逆否命题 C．否命题 D．以上判断都不对

题型五：问题的逆否证法
例9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

题型六：判断条件关系及求参数范围
例10．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的 (　　)
A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例12、已知命题：方程有两个不等的负根，命题：无实根，若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.
解析：由已知可知，，解得，
，解得             …….4分
或为真，且为假为真，为假，或为真，为假，即或
，…….8分
解得或，综上，实数的取值范围是或.      …….12分

变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式练习2： 已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．

题型七、充要条件的论证
例13.求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
题型八、命题真假值的判断
例14．如果命题“p∨q”与命题“非p”都是真命题，那么 (　　)
A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定为真命题
C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真假相同
变式练习：判断由下列命题构成的p∨q，p∧q，非p形式的命题的真假：
(1)p：负数的平方是正数，q：有理数是实数；
(2)p：2≤3，q：3<2；
(3)p：35是5的倍数，q：41是7的倍数．
题型九、命题的否定与否命题
例15．命题“若a命题的否定为________．
变式练习1：“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．
变式练习2： 命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
题型十、全称命题与特称命题相关小综合题
例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是 (　　)
A．a≤－3或a>2 B．a≥2 C．a>－2 D．－2>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)
变式练习2： 已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|10，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

变式练习1：已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．

课后作业
1.若非空集合满足，且不是的子集，
则 ( )
A.“”是“”的充分条件但不是必要条件
B.“”是“”的必要条件但不是充分条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件
答案 B
2.“成立”是“成立”的 ( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
3. 设，是定义在R上的函数，，则“，
均为偶函数”是“为偶函数”的 （ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
答案 B
4.：，则 （ ）
A. B.
C. D.
答案 C
5. 命题：“若，则”的逆否命题是 （ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则

答案 D
6.命题“对任意的”的否定是 （ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D.对任意的
答案 C
7.设集合，，那么“”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 　 　 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　 D．既不充分也不必要条件
答案 B
8.设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－12，借助图形知选A.
9. “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
10.对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B

11．已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围．

12．已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

13．求实数a的取值范围，使得关于x的方程
（1） 有两个都大于1的实数根；
（2） 至少有一个正实数根．

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