理科高概率及分布列中最值或交汇点问题.doc

[理科高三概率及分布列中的最值或交汇点问题]
1：近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;: (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值. (注:方差,其中为的平均数) 12年
2：工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。11年
3：A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%

X2
2%
8%
12%
P
0.8
0.2

P
0.2
0.5
0.3
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）08年
4：一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。
（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。08年
5：箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.: （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望.
6：一个口袋中装有2个白球和个红球（且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。
（1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；
（2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值是时，最大?
答案：
1：【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.
(1)由题意可知: :(2)由题意可知:
(3)由题意可知:,因此有当,,时,有.
:2：【命题意图】：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。
【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率为=
（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为

1
2
3
P

所需派出人员数目的均值（数字期望）是
（Ⅲ）（方法一）由（2）的结论知，当一甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，=，
依据常理，优先派出完成任务概率最大的人，可减少派出人员数目的均值.
下面证明：对与，，的任意排列，，，都有≥.
事实上，
=
=
=
≥≥0，
即≥成立.
（方法二）：①可将（Ⅱ）中所求的改写为，若交换前两人的派出顺序，则变为，可见，当时，交换前两人的派出顺序可减少均值;
②也可将（Ⅱ）中所求的改写为，交换后两人的派出顺序，则变为，由此可见，若保持派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减少均值.
综合①②可知，当（，，）=（，，）时，达到最小，
即完成任务概率最大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.
【解题指导】：当问题的情境很复杂时，静下心来读懂题意是第一要务，在读懂题意的前提下抽象概括出数学模型。第三问需用合情推理与演绎推理相结合的办法解决，同时运用分类讨论思想，难度非常大。但这一问很好地体现了《考试说明》的要求“能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。”“创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。”
3:解：Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为
 Y1
5
10
P
0.8
0.2
 Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
，
，
，
．
（Ⅱ）

，
当时，为最小值．
:4本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．
故白球有5个．
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是

0
1
2
3

的数学期望
．
（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，
所以，，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则．所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．
5．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
…
n-1
n
p

…

(II) 的数学希望为
…(1)
…(2)
(1) －(2)得

:6：（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：（1）∵一次摸球从个球中任选两个，有种选法，
任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有种选法，
∴一次摸球中奖的概率．
（2）若，则一次摸球中奖的概率， :
三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是
．
（3）设一次摸球中奖的概率为，则三次摸球恰有一次中奖的概率为，，
∵，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴当时，取得最大值．
∵≥，
解得．故当时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．