立体几何外接球.doc

立体几何之外接球秒杀
第一种
长方体正方体模型

长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱
长为a b c, , , 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接
圆，故球的半径

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．16p B．20p C．24p D．32p

2.（2013秋•潮阳区校级期中）长、宽、高分别为4、3、的长方体的外接球的体积为（ ）

A．3π B．π C．π D．9π

第二种
补形法：把几何体放到规则图形里面

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，把多面体放到规则几何体里面
c
a
b
C
P
A
B

类型1：有一条棱垂直于底面

图1
1．已知直三棱柱ABC ABC- 1 1 1的 6 个顶点都在球O的球面上，若AB AC^ ，
AA1 =12，AB=3，AC=4，则球O的半径为( )
A．317
2
B．2 10 C． D．3 10

2.若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是

3.在正三棱锥S ABC- 中，M N、 分别是棱SC BC、 的中点，且 AM ^ MN ,若侧棱
SA=2 3 ,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 。

4.（2014 秋•吉安期末）三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且
PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是（ ）
A．2π B．4π C．π D．8π

类型二：对棱相等利用长方体相对面的对角线长度相等，把四面体放入其中

1在三棱锥A-BCD中，AB=CD= 2, AD=BC= 3, AC=BD= 4,则三棱锥A-BCD外
接球的表面积为

2（2015秋•湖南月考）在四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝
BC＝，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．6π B．8π C．14π D．16π

第三种
正棱锥巧用公式
b2
正棱锥外接球半径的秒杀方法：R ，b为侧棱长，h为棱锥的高
2h
如图所示：PA=b ，PE=h ，PO=AO=R ，在直角三角形 AOE 中 AO EO AE2 2 2 ,
2
2
2
2
(-
)
-

2
b
R
hRbhR
h
，

正四面体：外接圆半径√6a/4（a 为棱长）可用补形法求的

1（2017 秋•平遥县月考）如果三棱锥的每条侧棱和底面的边长都是a，那么这个
三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．πa3 B．πa3 C．πa3 D．πa3

2（2017 秋•茂名月考）在正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，AB＝6，则该三棱锥
外接球的直径为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10

3.（2015 秋•青岛校级月考）如图，已知正三棱锥的侧棱长为 2，底面周长为 9．
（1） 求这个正三棱锥的体积；
（2） 求这个正三棱锥的外接球的体积．

4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球
的表面积为( )

81
A． p B．16p
4
C．9p
27
D． p
4

第四种

2
1
2
2
2
1
2
,
,
,
.
4
ABC
BCD
l
RRBC
l
R
R
平
面
平
面
ABC
和
BCD
外
接
圆
半
径
分
别
为
则外接球半径R

1.（2017•深圳二模）已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB＝8，
SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．64π B．68π C．72π D．100π

2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几体体的外接球的体积是( )

32 2 8 2
A
．
642
p B．p C．p D．8p
3 3 3

2.在三棱锥S ABC- 中，ÐABC =90°，AC中点为点O，AC = 2，SO ^平面ABC，
SO=3，则三棱锥外接球的表面积为 ．

3．已知直三棱柱ABC ABC- 1 1 1的各顶点都在球O的球面上， 且AB AC= =1，
20 5
BC=3，若球O的体积为p，则这个直三棱柱的体积等于( )
3
A ．2 B ．3 C ． 2 D ．5 4．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC ^平面ABC，BC =3，PB=2 2，PC=5，则三棱锥P ABC- 外接球的表面积为 ．

5 如图，平面四边形ABCD中，AB AD CD= = =1，BD=2，BD CD^ ，将其沿对角线BD折成四面体A BCD¢- ，使平面ABD¢ ^ 平面BCD．四面体
A BCD¢- 顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ．

6.如图，在小正方形边长为 1 的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 ．

7.在三棱锥S ABC- 中，DABC是边长为 3 的等边三角形，SA=3,SB= 2 3，
二面角S AB C- - 的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．