一次函数知识点总结与典型例题.pdf

1一次函数知识点总结与典型例题一次函数知识点总结与典型例题知识点一：变量、常量及函数定义知识点一：变量、常量及函数定义函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x x 和和 y y，并且对于，并且对于 x x 的每一个确定的值，的每一个确定的值，y y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x x 称为自变量，把称为自变量，把 y y 称为是称为是 x x 的函数。的函数。【注：判断注：判断 y y 是否为是否为 x x 的函数，只要看的函数，只要看 x x 取值确定的时候，取值确定的时候，y y 是否有唯一确定的值与之对应是否有唯一确定的值与之对应】例例 1 1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（、下列函数关系式中不是函数关系式的是（D D ）A.A.B.B.C.C.D.D.21yx21yx1yxx22yx例例 2 2、下列各图中表示、下列各图中表示y y是是x x的函数图像的是的函数图像的是 （D D ）知识点二、自变量取值范围：知识点二、自变量取值范围：当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。例例 1 1、函数函数的自变量的自变量x x的取值范围是的取值范围是 31xy例例 2 2、函数、函数的自变量的自变量x x的取值范围是的取值范围是 3xy例例 3 3、函数、函数的自变量的自变量x x的取值范围是的取值范围是 22)x（y知识点三、阅读函数图像知识点三、阅读函数图像例例 1 1、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离 y y（千米）与所用的时间（千米）与所用的时间 x x（小时）之间（小时）之间关系的函数图象，小强关系的函数图象，小强 9 9 点离开家，点离开家，1515 点回家，根据这个图象，回答下列问题：点回家，根据这个图象，回答下列问题：（1 1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？（2 2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？(3(3）返回时平均速度是多少？）返回时平均速度是多少？解解;（1)1)小强到离家最远的地方需要小强到离家最远的地方需要 1212 小时：此时离家小时：此时离家 30km.30km.（2 2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是 1510.5=1510.5=hkm/710(3(3）返回时平均速度是）返回时平均速度是 3030（15-1315-13）=15km/h=15km/hxyOAxyOBxyODxyOC2知识点四、一次函数和正比例函数的定义知识点四、一次函数和正比例函数的定义1 1、正比例函数定义：正比例函数定义：一般地，形如一般地，形如 y=kx(ky=kx(k 是常数，是常数，k0)k0)的函数叫做正比例函数，其中的函数叫做正比例函数，其中 k k 叫做比例系数叫做比例系数.【注：正比例函数一般形式注：正比例函数一般形式 y=kxy=kx k0k0 x x 的指数为的指数为 1】1】2 2、一次函数定义：一次函数定义：一般地，形如一般地，形如 y=kxy=kxb(k,bb(k,b 是常数，是常数，k0)k0)，那么，那么 y y 叫做叫做 x x 的一次函数的一次函数.当当 b=0b=0 时，时，y=kxy=kxb b 即即y=kxy=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.【注：一次函数一般形式注：一次函数一般形式 y=kx+by=kx+b k0k0 x x 指数为指数为 1 1 b b 取任意实数取任意实数】例例 1 1 函数函数是一次函数，则是一次函数，则 k k 值为值为 k=1k=1 .2(1)1kykxk例例 2 2 函数是函数是正比例函数，则正比例函数，则 m m 值为值为 m=-2m=-2 。12()mymm x知识点五：专题知识点五：专题 1-1-一一次函数一一次函数 y=kx+by=kx+b 中中 k k、b b 的作用的作用 k-k-决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：k k0 0 直线经过第一、三象限，直线经过第一、三象限，y y 随随 x x 的增大而增大；的增大而增大；k k0 0 直线经过第二、四象限，直线经过第二、四象限，y y 随随 x x 的增大而减小。的增大而减小。b-b-决定了直线与决定了直线与 y y 轴交点的位置轴交点的位置:b b0 0 直线与直线与 y y 轴的正半轴相交；轴的正半轴相交；b b0 0 直线与直线与 y y 轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。例例 1 1、已知一次函数、已知一次函数 y=mx+n-2y=mx+n-2 的图像如图所示，则的图像如图所示，则 m m、n n 的取值范围是（的取值范围是（D D ）A.mA.m0,n0,n2 2 B.B.m m0,n0,n2 2 C.C.m m0,n0,n2 2 D.D.m m0,n0,n2 2例例 2 2、如果、如果那么一次函数那么一次函数的图像的大致形状是（的图像的大致形状是（A A ）,0,0bcab0cbyax知识点六：专题知识点六：专题 2-2-一一次函数图像的交点问题一一次函数图像的交点问题一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b 与与 x x 轴的交点轴的交点-令令 y=0y=0，则，则 kx+b=0kx+b=0，解出解出 x x 即为直线与即为直线与 x x 轴的交点的横坐标。轴的交点的横坐标。一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b 与与 y y 轴的交点轴的交点-令令 x=0 x=0，则，则 y=b,y=b,即直线与即直线与 y y 轴交点坐标为（轴交点坐标为（0 0，b b）两个一次函数两个一次函数 y=ky=k1 1x+bx+b1 1 与与 y=ky=k2 2x+bx+b2 2的交点的交点-联立联立 y=ky=k1 1x+bx+b1 1 组成关于组成关于 x x、y y 的二元一次方程组，的二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标方程组的解即为交点坐标 y=ky=k2 2x+bx+b2 2例例 1 1、一次函数一次函数 y=y=-2x+4-2x+4 的图象与的图象与 x x 轴交点坐标是轴交点坐标是（2 2，0 0），与与 y y 轴交点坐标是轴交点坐标是(0,4)(0,4)图象与坐标轴所围成的三角形面积是图象与坐标轴所围成的三角形面积是 4 4 例例 2 2、两直线、两直线 y=2x-1y=2x-1 与与 y=x+1y=x+1 的交点坐标为（的交点坐标为（D D ）A A（2 2，3 3）B B（2 2，3 3）C C（2 2，3 3）D D（2 2，3 3）知识点七：专题知识点七：专题 3-3-一一次函数解析式的确定一一次函数解析式的确定3XYAPOB待定系数法确定一次函数解析式待定系数法确定一次函数解析式-先设出一次函数解析式为先设出一次函数解析式为 y=kx+by=kx+b 只需两个点的坐标代入解二元一次方程组解出只需两个点的坐标代入解二元一次方程组解出 k k、b b 即可。即可。例例 1 1、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点 P P（-2,-2,2 2），一次函数与一次函数与 x x 轴、轴、y y 轴交与轴交与 A A、B B 两点，且两点，且 B B（0 0，6 6）（1 1）求两个函数的解析式）求两个函数的解析式 （2 2）求）求AOPAOP 的面积的面积解解;(1);(1)设正比例函数、一次函数的解析式分别为设正比例函数、一次函数的解析式分别为 y=kx,y=ky=kx,y=k1 1x+bx+b把把 p(-2,2)p(-2,2)代入代入 y=kxy=kx，得，得 -2k=2-2k=2 k=-1k=-1 正比例函数解析式为：正比例函数解析式为：y=-xy=-x把把 p(-2,2)p(-2,2)B(0,6)B(0,6)代入代入 y=y=y=ky=k1 1x+bx+b，得，得 -2-2 k k1 1+b=2+b=2 k k1 1=2=2 b=6b=6 b=6b=6一次函数解析式为：一次函数解析式为：y=2x+6y=2x+6(2)(2)令令 y=0,y=0,则则 2x+62x+6 =0=0 x=-3x=-3 A(-3A(-3，0)0)OA=3OA=3 AOPAOP 的面积的面积=9=9OBOA216321例例 2 2、求与直线求与直线 y=-2x+3y=-2x+3 平行，且经过（平行，且经过（2 2，-2-2）的直线的解析式。）的直线的解析式。解解:设直线的解析式为设直线的解析式为 y=kx+by=kx+b直线与直线与 y=-2x+3y=-2x+3 平行平行 k=-2k=-2把（把（2 2，-2-2）代入）代入 y=-2x+b,y=-2x+b,得得-22+b=-2-22+b=-2 b=2b=2设直线的解析式为设直线的解析式为 y=-2x+2y=-2x+2知识点八：专题知识点八：专题 4-4-一一次函数与方程方程组一一次函数与方程方程组一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b 图像与图像与 x x 轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程 kx+b=0kx+b=0 的解的解两个一次函数两个一次函数 y=ky=k1 1x+bx+b1 1 与与 y=ky=k2 2x+bx+b2 2的交点坐标即为二元一次方程组的交点坐标即为二元一次方程组 y=ky=k1 1x+bx+b1 1 的解。的解。y=ky=k2 2x+bx+b2 2例例 1 1、一次函数、一次函数 y=kxy=kxb b 的图象如图所示，则方程的图象如图所示，则方程 kx+b=0kx+b=0 的解为（的解为（C C ）A Ax=2x=2 B By=2y=2 C Cx=-1x=-1 D Dy=-1y=-1 例例 2 2、若函数、若函数y y=x x+b b和和y y=axax+3+3 的图象交于点的图象交于点P P，则关于则关于x x、y y的方程组的方程组的解为的解为_3axybxy知识点九：专题知识点九：专题 5-5-一一次函数与不等式一一次函数与不等式一次函数值大于（小于）一次函数值大于（小于）0-0-由直线与由直线与 x x 轴交点的横坐标数形结合分析。轴交点的横坐标数形结合分析。两个一次函数的大小两个一次函数的大小-由两条直线的交点向由两条直线的交点向 x x 轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析。轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析。例例 1 1、如图，直线如图，直线 y=kx+b(ky=kx+b(k0 0）与与x轴交于点（轴交于点（3,03,0），关于关于 x x 的不等式的不等式 kx+bkx+b0 0 的解集是（的解集是（）A A3x B B3x C C0 x D D0 x 例例 2 2、如图，直线、如图，直线和和相交于相交于A(mA(m，3),3),则不等式则不等式的解集为的解集为()y=2xy=ax+42xax+4A A B B C C D D3x2x3x3知识点十：专题知识点十：专题 6-6-一一一次函数的平移与翻折一一一次函数的平移与翻折一次函数的平移一次函数的平移-口诀口诀“上加下减，左加右减上加下减，左加右减”【注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在 x x 上加减上加减】4一次函数的翻折一次函数的翻折-沿沿 x x 轴翻折将轴翻折将 y y 换成换成“-y“-y”,沿沿 y y 轴翻折将轴翻折将 x x 换成换成“-x“-x”例例 1 1、直线、直线向下平移向下平移 2 2 个单位，再向左平移个单位，再向左平移 1 1 个单位得到直线个单位得到直线143xy4743xy例例 2 2、直线、直线 y=y=-3x+7-3x+7 关于关于 x x 轴对称的直线解析式为轴对称的直线解析式为 y=3x-7y=3x-7 ;关于关于 y y 轴对称的直线解析式为轴对称的直线解析式为 y=3x+7y=3x+7 知识点十一：专题知识点十一：专题 7-7-一一一次函数的应用一一一次函数的应用例例 1 1、【新疆新疆 20142014 年中考试题年中考试题】如图如图 1 1 所示，在所示，在 A A，B B 两地之间有汽车站两地之间有汽车站 C C 站，站，客车由客车由 A A 地驶往地驶往 C C 站，货车由站，货车由 B B 地驶往地驶往 A A 地两车同时出发，匀速行驶地两车同时出发，匀速行驶图图 2 2 是客车、货车离是客车、货车离 C C 站飞路站飞路程程 y y1 1，y y2 2（千米）与行驶时间（千米）与行驶时间 x x（小时）之间的函数关系图象（小时）之间的函数关系图象（1 1）填空：）填空：A A，B B 两地相距两地相距 千米；千米；（2 2）求两小时后，货车离）求两小时后，货车离 C C 站的路程站的路程 y y2 2与行驶时间与行驶时间 x x 之间的函数关系式；之间的函数关系式；（3 3）客、货两车何时相遇？）客、货两车何时相遇？解：（解：（1 1）填空：）填空：A A，B B 两地相距两地相距 420420 千米；千米；（2 2）由图可知货车的速度为）由图可知货车的速度为 602=30602=30 千米千米/小时，小时，货车到达货车到达 A A地一共需要地一共需要 2+36030=142+36030=14 小时，小时，设设 y y2 2=kx+b=kx+b，代入点（，代入点（2 2，0 0）、（1414，360360）得）得，解得，解得，所以，所以 y y2 2=30 x60=30 x60；（3 3）设）设 y y1 1=mx+n=mx+n，代入点（，代入点（6 6，0 0）、（0 0，360360）得）得解得解得，所以所以 y y1 1=60 x+360=60 x+360 由由 y y1 1=y=y2 2得得 30 x60=60 x+36030 x60=60 x+360、解得、解得 x=x=答：客、货两车经过答：客、货两车经过 小时相遇小时相遇例例 2 2、某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售甲店标价甲店标价 477477 元克，按标价出售，不优惠元克，按标价出售，不优惠乙店标价乙店标价 530530 元克，但若买的铂金饰品重量超过元克，但若买的铂金饰品重量超过 3 3 克，则超出部分可打八折出售克，则超出部分可打八折出售5 写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用（元）和重量（元）和重量（克）之间的函数关系式；（克）之间的函数关系式；yx 李阿姨要买一条重量不少于李阿姨要买一条重量不少于 4 4 克且不超过克且不超过 1010 克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？解：（解：（1 1）y y甲甲=477x=477x y y乙乙=530 x530 x (x3)(x3)即：即：y y乙乙=530 x530 x (x3)(x3)5303+5300.85303+5300.8（x-3x-3）(x(x3)3)424x+318424x+318 (x(x3)3)(2)(2)当当 y y甲甲=y y乙乙时，时，477477 x=424x+318x=424x+318 x=6x=6 即：买该种铂金饰品重量为即：买该种铂金饰品重量为 6 6 克时甲乙两商店一样。克时甲乙两商店一样。当当 y y甲甲y y乙乙时，时，477477 x x424x+318424x+318 xx6 6 即：买该种铂金饰品重量在即：买该种铂金饰品重量在 4x4x6 6 时到甲商店购买最合算时到甲商店购买最合算当当 y y甲甲y y乙乙时，时，477477 x x424x+318424x+318 xx6 6 即：买该种铂金饰品重量在即：买该种铂金饰品重量在 6 6x10 x10 时到乙商店购买最合算时到乙商店购买最合算例例 3 3、【新疆新疆 20122012 年中考试题年中考试题】库尔勒某乡库尔勒某乡 A A，B B 两村盛产香梨，两村盛产香梨，A A 村有香梨村有香梨 200200 吨，吨，B B 村有香村有香梨梨300300 吨，现将这些香梨运到吨，现将这些香梨运到 C C，D D 两个冷藏仓库。已知两个冷藏仓库。已知 C C 仓库可储存仓库可储存 240240 吨，吨，D D 仓库可仓库可储存储存 260260 吨，从吨，从 A A 村运往村运往 C C，D D 两处的费用分别为每吨两处的费用分别为每吨 4040 元和元和 4545 元；从元；从 B B 村运往村运往 C C，D D 两处的两处的费费用分别为每吨用分别为每吨 2525 元和元和 3232 元。设从元。设从 A A 村运往村运往 C C 仓库的香梨为仓库的香梨为x吨，吨，A A，B B 两村运香梨往两仓库的两村运香梨往两仓库的运输费用分别为运输费用分别为Ay 元，元，By元。元。（1 1）请填写下表，并求出）请填写下表，并求出Ay，By与与x之间的函数之间的函数关系式；关系式；（2 2）当）当x为何值时，为何值时，A A 村的运费较少？村的运费较少？（3 3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。解：（解：（1 1）填写如下：）填写如下：C CD D总计总计A Ax x 吨吨（200 x200 x）吨）吨200200 吨吨B B（240 x240 x）吨）吨（60+x60+x）吨）吨300300 吨吨总计总计240240 吨吨260260 吨吨500500 吨吨由题意得：由题意得：yA=40 x+45yA=40 x+45（200 x200 x）=5x+9000=5x+9000；yB=25yB=25（240 x240 x）+32+32（60+x60+x）=7x+7920=7x+7920；（2 2）对于）对于 yA=5x+9000yA=5x+9000（0 x2000 x200），k=5k=50 0，此一次函数为减函数，此一次函数为减函数，则当则当 x=200 x=200 吨时，吨时，yAyA 最小，其最小值为最小，其最小值为5200+9000=80005200+9000=8000（元）（元）；（3 3）设两村的运费之和为）设两村的运费之和为 W W（0 x2000 x200），则则 W=yA+yB=5x+9000+7x+7920=2x+16920W=yA+yB=5x+9000+7x+7920=2x+16920，k=2k=20 0，此一次函数为增函数，此一次函数为增函数，则当 x=0 时，W 有最小值，W 最小值为 16920 元C CD D总计总计A Ax吨吨200200吨吨B B300300吨吨总计总计240240吨吨260260吨吨5 50000吨吨