双曲线讲义(教师版).doc

完整word)双曲线讲义(教师版)
一、双曲线知识点总结:
1。 双曲线的定义
（1）第一定义:当时， 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹不存在；
当时， 的轨迹为以为端点的两条射线
（2）双曲线的第二义
平面内到定点与定直线(定点不在定直线上）的距离之比是常数（)的点的轨迹为双曲线
2。 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程

性

质
焦点
，

焦距

范围

顶点

对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率

准线

渐近线

与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：
与双曲线共轭的双曲线为
等轴双曲线的渐近线方程为 ,离心率为.；
1.注意定义中“陷阱
问题1:已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为
2。注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为,则离心率为
二、双曲线经典题型：
1。定义题：
1。某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/ s ：相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
[解析］如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系。设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A（－1020，0)，B（1020，0）,C(0，1020）
设P（x，y）为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声，得|PA｜=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB｜－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，A
B
C
P
O
x
y

依题意得a=680， c=1020，

用y=－x代入上式,得，∵|PB|>｜PA｜,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
2。 设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若｜PF1｜：|PF2|=3:2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A． B．12 C． D．24
解析： ①
又②
由①、②解得直角三角形故选B。
3。如图2所示,为双曲线的左
焦点，双曲线上的点与关于轴对称，
则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
［解析］ ，选C
4。 P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） （B） (C) （D）
［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，
由圆的切线性质知,
5。 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1｜·｜PF2｜的值是 （ )
A. B. C. D.
【解析】椭圆的长半轴为
双曲线的实半轴为
，故选A。
2。求双曲线的标准方程
1已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2).求双曲线C的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组
[解析］ 解法一：设双曲线方程为－=1。由题意易求c=2。又双曲线过点3,2），∴－=1。
又∵a2+b2=（2)2,∴a2=12，b2=8。
故所求双曲线的方程为－=1。
解法二：设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4,所以双曲线方程为－＝1。
2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
［解析]设双曲线方程为，
当时,化为，,
当时，化为，，
综上,双曲线方程为或
3。以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
[解析］ 抛物线的焦点为,设双曲线方程为，，双曲线方程为
4.已知点，，，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（x 〉 0） D．
［解析］,点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支，选B
3。与渐近线有关的问题
1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ( )
A。 　　 B. 　　 C。 　　　 D.
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系
[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长,故，，所以
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程
2. 双曲线的渐近线方程是 （ ）
A。 B. C。 D.
[解析］选C
3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ )
A． B． C． D．
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B
4.过点(1,3）且渐近线为的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为
点（1，3）代入:.代入（1）：
即为所求。
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置。

4.几何
1.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为( ）
A． B． C. D．
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；

于是，
故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°。
∴。选B。
5.求弦
1。双曲线的一弦中点为（2，1)，则此弦所在的直线方程为 （ ）
A。 B。 C。 D.
【解析】设弦的两端分别为。则有：
.
∵弦中点为（2，1)，∴。故直线的斜率。
则所求直线方程为:，故选C.

“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求"的手段应当慎用。不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看:
2.在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段,会有如下解法:
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证。由

这里，故方程（2)无实根,也就是所求直线不合条件.
此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若。说明这时直线与双曲线只有一个公共点,仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线。