数实验教程实验(重积分的几何体的形象化).doc

实验18 二重积分的可视化
实验目的
利用数学软件Mathematica的绘图功能帮助学生建立二重积分的积分区域的几何形状以及空间几何体的外观，加深对所求积分的理解。
预备知识
二重积分、Mathematica相关积分命令
实验内容　
研究两个空间区域的体积问题。
【项目1】 计算函数之下，x-y平面中介于抛物线和直线之间的区域R上的立体的体积：

【Step1】：首先来观察一些积分区域的形状和所求立体的形状
f[x_,y_]:=x^2+(1/2) y^2;
c1[x_]:=-x^2+4 x+2;
c2[x_]:=2 x+2;
domain=Plot[{c1[x],c2[x]},{x,0,2.5},PlotRange->{0,6.5},PlotStyle®RGBColor[1,0,0]]

图18-1 积分区域
立体的形状如下：
Plot3D[f[x,y],{x,0,3},{y,0,7},AxesLabel®{x,y,z}]

图18-2 上表面
但由于表面遮住了积分区域，因此无法看清具体的立体形状，我们改进一下，定义一个特征函数以保留需要的去处不需要的：
K[x_,y_]:=If[(2 x+2)£y£(-x^2+4 x+2),1,0];
Plot3D[f[x,y] K[x,y],{x,0,3},{y,0,7},AxesLabel®{x,y,z},PlotPoints®50,Mesh®False,PlotRange®{0.01,20},ClipFill®None]

…图18-3 空间几何体形状
【Step2】计算积分
Integrate[f[x,y],{x,0,2},{y,2 x+2,-x^2+4 x+2}]

【项目2】 三个正圆柱面彼此相互垂直相交所围成几何体的体积
设想在空间有三个无限长的正圆柱面，底半径都等于1，其中一个用x轴作为它的轴（称为Cx），另外两个分别以y轴和z轴作为它的轴，称为Cy和Cz，这三个圆柱面彼此相交于围绕着原点的一个立体区域，我们需要求出它的体积。
【Step1 首先想一想它在x-y平面以上的部分：
底面：，是一个圆盘；
顶面：圆柱面Cx和Cy被Cz截出的部分。
Clear[f,K];
f[x_,y_]:=Sqrt[1-y^2];
g[x_,y_]:=Sqrt[1-x^2];
ceiling[x_,y_]:=Min[Abs[f[x,y]],Abs[g[x,y]]];
K[x_,y_]:=If[x^2+y^2£1,1,0];
pic1=Plot3D[ceiling[x,y] K[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},Lighting®True,PlotPoints®50,BoxRatios®{1,1,1},ViewPoint®{2,2,2},AxesLabel®{x,y,z},PlotRange®{0.01,1},ClipFill®None,Mesh®False]

图18-4 上半部分
Clear[f,K];
f[x_,y_]:=Sqrt[1-y^2];
g[x_,y_]:=Sqrt[1-x^2];
Dceiling[x_,y_]:=-Min[Abs[f[x,y]],Abs[g[x,y]]];
K[x_,y_]:=If[x^2+y^2£1,1,0];
pic2=Plot3D[Dceiling[x,y] K[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},Lighting®True,PlotPoints®50,BoxRatios®{1,1,1},ViewPoint®{-2,-2,-2},AxesLabel®{x,y,z},PlotRange®{-1,-0.01},ClipFill®None,Mesh®False]

图18-5 下半部分
【Step2】： 其次考虑其在第一卦限的立体部分，通过图像观察：
Clear[f,K];
f[x_,y_]:=Sqrt[1-y^2];
g[x_,y_]:=Sqrt[1-x^2];
ceiling[x_,y_]:=Min[Abs[f[x,y]],Abs[g[x,y]]];
K[x_,y_]:=If[x^2+y^2£1,1,0];

Plot3D[ceiling[x,y] K[x,y],{x,0,1},{y,0,1},Lighting®True,PlotPoints®50,BoxRatios®{1,1,1},ViewPoint®{2.357,1.369,2.131},AxesLabel®{x,y,z},PlotRange®{0.01,1},ClipFill®None,Mesh®False]

图18-6 第一卦限内的形状
【Step3】：计算体积
首先，这个体积是可由极坐标计算的；
其次，由对称性，整个体积是第一卦限内体积的8倍，而这个体积又是在区域上面体积的2倍；
第三，在底板R部分上面的顶板由Cy给出，它的方程是：

第四，体积为：

用Mathematica计算得到：
16*Integrate[Sqrt[1-r^2 Cos[u]^2] r,{r,0,1},{u,0,Pi/4}]

实验练习
一个四面体的四个顶点为：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)。用Mathematica作图，帮助想象一下该四面体是什么样的。现假设电荷是分布在四面体内的，在四面体内每点(x,y,z)的电荷密度是常数c和从点(x,y,z)到四面体表面距离的四倍的乘积。确定计算电荷密度的公式，并计算四面体的总电荷量。
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