导数与函数极值、最值.doc

第十二节导数与函数的极值、最值考纲传真1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)1函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值2函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定比极小值大()(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图2121所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()图2121A1B2C3D4A导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件Cyx281，令y0得x9或x9(舍去)当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件4(2016四川高考)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4B2C4D2D由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数f(x)在x2处取得极小值，a2.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值为8.利用导数研究函数的极值问题角度1根据函数图象判断极值设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图2122所示，则下列结论中一定成立的是()图2122A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值角度2求函数的极值求函数f(x)xaln x(aR)的极值解由f(x)1，x0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；5分(2)当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，9分从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.12分角度3已知极值求参数(1)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是() 【导学号：31222087】A(，0)B.C(0,1)D(0，)(2)(2016广东肇庆三模)已知函数f(x)x3ax23x9，若x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a_.(1)B(2)5(1)f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a.(2)f(x)3x22ax3，由题意知x3为方程3x22ax30的根，3(3)22a(3)30，解得a5.规律方法利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题(2017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)单调递减ek1单调递增所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).5分(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，7分当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.12分规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值变式训练1(2017石家庄质检(二)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t的最大值为()A2B3 C6D9Df(x)12x22ax2b，则f(1)122a2b0，ab6，又a0，b0，则tab29，当且仅当ab3时取等号，故选D.利用导数研究生活中的优化问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.7分从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，9分所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分规律方法利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答变式训练2某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_. 【导学号：31222088】40由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y0；x40时，y0.所以当x40时，y有最小值思想与方法1可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同2求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可3如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点4若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意xA，f(x)0f(x)min0；(2)存在xA，f(x)0f(x)max0.易错与防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论3若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值4利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义课时分层训练(十五)导数与函数的极值、最值A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3Byln(x)CyxexDyxD由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数yx3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值2当函数yx2x取极小值时，x等于() 【导学号：31222089】A.BCln 2Dln 2B令y2xx2xln 20，x.经验证，为函数yx2x的极小值点3函数yln xx在x(0，e上的最大值为()AeB1 C1DeC函数yln xx的定义域为(0，)又y1，令y0得x1，当x(0,1)时，y0，函数单调递增；当x(1，e时，y0，函数单调递减当x1时，函数取得最大值1.4已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() 【导学号：31222090】A(1,2)B(，3)(6，)C(3,6)D(，1)(2，)Bf(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根，4a243(a6)0，即a23a180，a6或a3.5设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()A BC DD因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0.选项D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.二、填空题6函数f(x)x3x23x4在0,2上的最小值是_. 【导学号：31222091】f(x)x22x3，令f(x)0得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0,2上的最小值是f(1).7设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_(，1)yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex1.8某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元3023 000设该商品的利润为y元，由题意知，yQ(p20)p3150p211 700p166 000，则y3p2300p11 700，令y0得p30或p130(舍)，当p(0,30)时，y0，当p(30，)时，y0，因此当p30时，y有最大值，ymax23 000.三、解答题9已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k0，从而点C处受污染程度y.5分(2)因为a1，所以y，yk，8分令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017石家庄一模)若函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m0)，且f(x)的极大值为，则m的值为() 【导学号：31222092】AB C.D.D由题意可得f(m)m3am2bm0，m0，则m2amb0，且f(m)3m22amb0，化简得m，f(x)3x22axb的两根为和，则b，f，解得a3，m，故选D.2(2016北京高考改编)设函数f(x)则f(x)的最大值为_2当x0时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0，f(x)是增函数，当1x0时，f(x)0，f(x)是减函数，f(x)f(1)2，f(x)的最大值为2.3已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值解(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.2分由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得5分(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；7分当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2,2)上为减函数；8分当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值，f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.10分此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.12分