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完整word)第10章 气体动理论教案
第10章 气体动理论

教学要求：
1、理解平衡态、准静态过程及概率的概念，了解微观量统计平
均值的求法.
2、理解压强公式的推导过程和统计意义，但不要求会推导。理
解温度公式的统计意义。
3、了解玻尔兹曼能量分布定律.
4、理解麦克斯韦速率分布定律，分布函数、速率分布曲线的物
理意义，了解三种速率及求法.
5、理解气体分子平均能量按自由度均分定理（仅要求用于理想
气体的刚性分子模型);理解并会计算理想气体内能。
6、了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程.

教学内容:
热学是研究热运动规律及其应用的科学。在热学中，描述单个分子特征的量(如分子的大小，质量，速度等）称为微观量，表征大量分子宏观特征的量称为宏观量，如气体的体积、压强、温度、总能量等。
热学的研究方法通常有两种：
方法1：热力学方法。以观察和实验为基础，总结热现象所满足的规律。
方法2:统计力学方法。从物质的微观结构出发,通过合理的假设,应用力学规律和统计的方法，研究大量微观粒子热运动的规律,从而对热现象给以本质的解释。
在现代的科学技术发展中，总的来说，日益表现出热力学方法与统计力学方法两者的相互结合和渗透，它们在热现象的研究中起到了相辅相成的作用.
本章主要研究分子热运动的统计概念及规律。

一．基本概念

1、平衡态（热力学系统的平衡态）
热力学系统(简称系统或体系)是指在给定的范围内，由大量的微观粒子所组成的宏观物体。
平衡态是指热力学系统内部没有宏观的粒子流动或能量流动的状态，这时系统的各种宏观性质(如温度，压强）不随时间变化.也可以定义为,对于一个孤立系，经过足够长的时间，系统必将达到一个宏观性质不随时间变化的状态，这种状态称为平衡态。
应该注意到，即使在平衡态下，组成系统的微观粒子仍然处在不停的无规运动之中，只是它们的统计平均效果不变而已。通常，这种动态的热力学平衡，称为热动平衡。
2、物态方程
描述气体平衡态的参量称态参量，如V、P、T。态参量所满足的关系式称物态方程.
对于理想气体,物态方程为:

式中：P，V，P，M，μ的含义。R（气体常量）=8.31 J·mol—1/K
P-V图中的每一个点都表示一个平衡态.
3、准静态与非准静态过程
系统状态随时间的变化称为过程，若气体在变化过程的每一个中间状态都无限接近平衡态，则这样的过程称为准静态过程。反之，称非准静态过程。只有准静态过程才能用P—V图中的曲线来表示。
如果某过程能无限缓慢地进行，则该过程可视为准静态过程。
4、概率及其归一化条件
如果在N次（N很大）实验中，某事件X出现了Ni次则比值
称X事件出现的概率.

如果表示事件X的量值x可以连续变化，变量在x附近单位间隔内出现的概率称概率密度，用f（x）表示，又称概率分布函数。
X出现在x→x+Δx内的概率：

X出现在x→x +dx 内的概率:
dp(x)=f（x)dx
概率的物理意义：图示的面积。
概率的归一化条件：各种可能发生事件的概率之和等于1，即

或
5、统计平均值
测量某一量X的过程中，x1出现了N1次，x2出现N2次，…,x n出现了Nn次。则定义x 的统计平均值为:

若x的值可以连续变化，则
例如，
6、等概率假设
在平衡态下,系统的各宏观参量具有确定值，由一组完备的宏观量（态参量)所决定的系统状态，称为系统的宏观态.相应于同一个宏观态，系统可以有大量的各种不同的微观状态,其中每一种运动状态称为系统的一个微观态。
1871年，玻耳兹曼提出了著名的等概率假设，它可表述为:对于处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率相等，换言之，如果平衡态下孤立系统的微观态总数为W,则系统的任一微观态出现的概率均为1/W。在用统计方法处理气体分子的热运动时,等概率假设也可表述为：当气体处于平衡态时，其分子向各个方向运动的概率相等。即,分子运动时，没有任何一个方向的运动比其它方向更占优势。
等概率假设是平衡态统计理论的基础，其正确性已为大量的实验所证实。平衡态统计理论的唯一出发点只有这样一个极为简单又合理的假设,这正是人们称赞统计物理学理论的美妙之所在。

二、理想气体的压强和温度的统计意义

1、 理想气体的微观模型
特征：
（1）分子可视为质点，且同类分子的质量相同。
(2）分子间除了相互碰撞外无其它相互作用，且碰撞是弹性的，遵守经典力学的规律.
2、 理想气体的压强公式
从宏观上看，气体的压强是指器壁单位面积上受到的压力,从微观上看则是指大量分子不断地对器壁碰撞的平均效果。
根据理想气体的微观模型假设、质点系的动量定理、压强定义等，可以推导出，理想气体的压强:

上式称为理想气体的压强公式。式中:m——-分子的质量， ～分子数密度，为大量分子平动动能的统计平均值，称分子平均平动动能。

压强公式建立了宏观量P与微观量的统计平均值之间的相互关系，它是一个统计规律。可以看出,压强是大量分子热运动的集体表现，离开了大量分子,气体的压强便失去了意义。这便是压强的统计意义。
3. 理想气体的温度公式
∵
又Μ=N m （N为气体总分子数)
（阿伏伽德罗常数NA=6。02×1023mol—1）
∴ (1)
式中：n为分子数密度,
（2)
（1)，（2)比较得

上式称理想气体的温度公式，它表明:T∝或者说∝T
可以看出，气体的温度也是一个具有统计意义的概念，它是大量分子热运动的集体表现。

作业：教材10—1，12

三、玻耳兹曼分布律

首先讨论气体分子在重力场中的分布。
1、 等温气压公式
如图所示的气体小圆柱，气体质量为M,位于z～z＋dz高度之间，底面积为△S。由于重力的作用，上、下底面将会产生压强差dp,显然
（1）
式中：ρ为气体密度，
由物态方程 得:
（2）
（1)，(2）整理后得

设地面（z = 0）处的压强为p0,z高度处的压强为p,上式积分：

∴
上式称等温气压公式。当温度恒定时,气体压强随高度的增加而按指数规律减小.
当T不变时,有,
(3)
上式就是气体分子在重力场中按高度的分布规律,表明：在重力场中，在温度相同的条件下，高度越大，单位体积中的分子数就越少.
2、玻耳兹曼能量分布律
在（3）式中（气体分子的重力势能）
即
表明：当T恒定时，气体分子势能越大,分子数密度越小.将这一规律推广,得到玻耳兹曼能量分布律。可以证明，
气体分子的能量为Ei（包括动能和势能)，相应于这一能量的分子数密度为：

式中,A为待定常量,大小由气体的温度、气体的总分子数及分子本身的属性决定。
玻耳兹曼能量分布律表明:气体分子能量越大，分子数密度越小。
玻耳兹曼能量分布律是自然界中的一条普遍规律，对处于保守力场中的任何微观粒子都是适用的。例如，在原子结构中，电子优先占领低能级。

四、麦克斯韦速率分布律

1、 麦氏速率分布律
根据玻耳兹曼能量分布律，可以证明,当气体处于平衡态时,分布在区间内的分子数与总分子数之比

上式为麦克斯韦速率分布律。m为气体分子质量，k为玻耳兹曼常量。dN/N表示气体分子出现在速率之间的概率.
可见，麦氏速率分布律是一种概率分布。
2、 速率分布函数
由概率密度的定义知，速率分布的概率密度为：

f(v）又称速率分布函数。物理意义：分子速率出现在v附近()的单位速率间隔内的概率。以为纵坐标，v为横坐标，可画出速率分布曲线。
讨论：
1）图中与曲线围成的面积：

物理意义表示速率分布在区间内的分子数与总分子数的比值。
2）
表示:速率小于v的分子数密度。
3） ~ 称归一化条件。
3、 三种速率
（1） 最概然速率（最可几速率)vP
分布函数的极大值对应的速率称最概然速率,用vP表示。
由得：

物理意义:分子出现在vP附近的概率最大.
讨论:
1)同种气体，T越高，则vP越大。
2)T一定时，μ越大的气体，vP越小。
问题：为何vP大时f(v)小？
（2） 平均速率
大量气体分子速率的统计平均值称平均速率。

（3） 方均根速率
大量气体分子速率平方平均值的平方根称方均根速率。

问题：表示？(分子平动动能的平均值）

五．气体分子的平均动能

1、 自由度的一般概念
确定物体空间位置所需的独立坐标数称自由度，用i表示。如果组成分子的原子之间无相对位置变化，这样的分子称为刚性分子，反之称非刚性分子.下面仅讨论刚性分子的自由度。
（1） 单原子分子 i=3(平动)
（2） 双原子分子 i=3（平动）+2(转动)=5
（3） 三原子及多原子分子
i=3（平动)+3（转动）=6
对于刚性分子只有平动、转动，没有振动自由度。
2、 能量均分定理
处于平衡态下的理想气体，分子的平均平动动能：

由等概率假设知：
∴
三个坐标轴对应着三个平动自由度，有理由认为，气体分子的平动动能是按三个自由度平均分配的，每一个自由度上的平均平动动能均为.
该结论推广后，即得到能量均分定理：在温度为T的平衡态下,气体分子的每一个自由度都平均地具有的动能。
能量均分定理在统计力学中可利用玻耳兹曼定律证明。根据能量均分定理知，一个刚性分子的平均动能:

六、理想气体的内能

内能：组成气体的全部分子的动能和势能之和.
对于理想气体,忽略分子间的相互作用，所以理想气体的内能仅为全部分子的平均动能之和。
1mol理想气体的内能

对于质量为M，摩尔质量为μ的理想气体，其内能:

对于给定的理想气体，其内能只与气体温度有关，即内能是状态 的函数,是状态量.

七．气体分子的平均自由程

气体分子的碰撞与力学中质点的碰撞不同，它不是分子间的直接接触,而是两个分子相互接近到极限或最小距离后,由于相互间的斥力作用而迅速分离的过程.
1、平均碰撞频率
气体分子在单位时间内与其他分子碰次数的平均值称平碰撞频率。其倒数表示:相邻两次碰撞的平均时间.
2、平均自由程
平均自由程是指分子在相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值。
∴
∝
表明：平均碰撞频率越高，则平均自由程就越短。
下面用一个曲折圆柱体模型来计算分子的平均碰撞频率及平均自由程。
设分子直径为d，与其他的静止的分子发生碰撞,在内，其质心由A曲折地运动到D，ABCD的长度等于。
以ABCD为轴,以d为半径作一曲折圆柱体，则在内，凡质心处于圆柱体内的分子均会与该分子相碰撞。
圆柱体内的分子数为：

平均碰撞频率:

除a分子外，其他分子也在运动,因此，上式中的平均速率应该用相对平均速率来代替,可以证明，

∴

又

作业：教材10—9，14，16
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