1、离心率的专题复习
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出、，求解
已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。
例1：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
变式练习2：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的
2、光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A B C D
变式练习3：[2016·全国卷Ⅲ] 已知O为坐标原点，F是椭圆C （）的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF
交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、 构造、的齐次式，解出
根据题设条件，借助、
3、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。
例2：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
变式练习1：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D
变式练习2：【2017课标3，文11】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且
4、以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式练习3：[2016·全国卷文Ⅰ] 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离
为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
三、 采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
变式练习1．
5、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 .
变式练习2．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .
变式练习3．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为 .
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .
变式练习1：在给定椭
6、圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）
A B C D
变式练习2：．已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 .
变式练习3：已知椭圆C：（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线交于两点，若，则 = .
参考公式：
五、构建关于的不等式，求的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式．
（一）基本问题
例5．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
变式练习1：设，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
（二） 数形结合
例6．已知椭圆的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 .
变式练习1：已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .
第 4 页 共 4 页
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
