3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义.doc

复数代数形式的四则运算32.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？1复数的加、减法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.2复数加法运算律设z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)3复数加、减法的几何意义设复数z1，z2对应的向量为，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数，z1z2是连接向量与的终点并指向的向量所对应的复数点睛对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数与向量一一对应()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()答案：(1)(2)(3)2已知复数z134i，z234i，则z1z2等于()A8iB6C68i D68i答案：B3已知复数z满足zi33i，则z等于()A0 B2iC6 D62i答案：D4在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|等于()A. B2C. D4答案：B复数代数形式的加、减运算典例(1)计算：(23i)(42i)_.(2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_.解析(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|.答案(1)2i(2)复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算活学活用已知复数z1a23i，z22aa2i，若z1z2是纯虚数，则实数a_.解析：由条件知z1z2a22a3(a21)i，又z1z2是纯虚数，所以解得a3.答案：3复数加减运算的几何意义典例如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3+2i，-2+4i.求：(1) 表示的复数；(2)对角线表示的复数；(3)对角线表示的复数解(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)16i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数zabi(a，bR)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变活学活用复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求点C对应的复数解：对应的复数为12i，对应的复数为3i.对应的复数为(3i)(12i)23i.又，C点对应的复数为(2i)(23i)42i.复数模的最值问题典例(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1B.C2 D.(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值解析(1)设复数-i，i，-1-i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.答案A(2)解：如图所示， |2.所以|z|max213，|z|min211.一题多变1变条件、变设问若本例题(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值解：因为|z|1且zC，作图如图：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|121.2变条件若题(2)中条件不变，求|z|2|z2i|2的最大值和最小值解：如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA，zB2i对应点A，B相连，得向量，再以，为邻边作平行四边形P为圆面上任一点，zPz，则2|22|2|2(2|)274|2，(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，所以|z|2|z2i|2.而max|OM|11，min|OM|11.所以|z|2|z2i|2的最大值为272，最小值为272.层级一学业水平达标1已知z1120i，则12iz等于()Az1Bz1C1018i D1018i解析：选C12iz12i(1120i)1018i.2若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是()A2 B4C3 D4解析：选Bz1(34i)24i，故选B.3已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Bzz2z1(12i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限4若z12i，z23ai(aR)，且z1z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A3 B2C1 D1解析：选Dz1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.z1z2所对应的点在实轴上，1a0，a1.5设向量，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么()Az1z2z30 Bz1z2z30Cz1z2z30 Dz1z2z30解析：选D，z1z2z3，即z1z2z30.6已知xR，yR，(xix)(yi4)(yi)(13xi)，则x_，y_.解析：x4(xy)i(y1)(3x1)i解得答案：6117计算|(3i)(12i)(13i)|_.解析：|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i| 5.答案：58已知z1a(a1)i，z23b(b2)i(a，bR)，若z1z24，则ab_.解析：z1z2a(a1)i3b(b2)i(ab1)i4，由复数相等的条件知解得ab3.答案：39计算下列各式(1)(32i)(105i)(217i)；(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0152 016i)解：(1)原式(3102)(2517)i520i.(2)原式(12342 0132 0142 015)(23452 0142 0152 016)i1 0081 009i.10设z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，求z1z2.解：z1x2i，z23yi，z1z2x3(2y)i56i，解得z122i，z238i，z1z2(22i)(38i)110i.层级二应试能力达标1设zC，且|z1|zi|0，则|zi|的最小值为()A0B1C. D.解析：选C由|z1|zi|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线yx，而|zi|表示直线yx上的点到点(0，1)的距离，其最小值等于点(0，1)到直线yx的距离即为.2复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数34i和52i，那么向量对应的复数为()A34i B52iC26i D26i解析：选D，即终点的复数减去起点的复数，(52i)(34i)26i.3ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：选A由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到ABC的顶点A，B，C距离相等，P为ABC的外心4在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3i，13i，则对应的复数是()A24i B24iC42i D42i解析：选D依题意有.而(3i)(13i)42i，故对应的复数为42i，故选D.5设复数z满足z|z|2i，则z_.解析：设zxyi(x，yR)，则|z| .xyi2i.解得zi.答案：i6在复平面内，O是原点，对应的复数分别为2i,32i,15i，那么对应的复数为_解析：()32i(2i15i)(321)(215)i44i.答案：44i7在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.(1)求向量，对应的复数；(2)判断ABC的形状(3)求ABC的面积解：(1)对应的复数为2i11i，对应的复数为12i(2i)3i，对应的复数为12i122i.(2)|，|，|2，|2|2|2，ABC为直角三角形(3)SABC22.8设zabi(a，bR)，且4(abi)2(abi)3i，又sin icos ，求z的值和|z|的取值范围解：4(abi)2(abi)3i，6a2bi3i，zi，z(sin icos )i|z| ，1sin1，022sin4，0|z|2，故所求得zi，|z|的取值范围是0,2