相似三角形的性质与判定专题讲义.doc

完整word)相似三角形的性质与判定专题讲义
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______年级 第______单元 课题______
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[ 课前准备 ]
课前检查：
作业完成情况: 优（ ） 良( ） 中（ ） 差（ ）
复习预习情况: 优（ ） 良 ） 中（ ) 差（ ）
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[ 学习内容 ]
一、知识梳理
（一）、相似三角形的性质:
1、相似三角形的对应角 ，对应边 。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于 。
3、相似三角形对应周长的比等于 。
4、相似三角形对应面积的比等于 。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角;若果不能确定，则应当进行分类讨论。
(二）、相似三角形的判定：
1、判定两个三角形相似的条件：
（1）平行截割： _____
(2）两角对应相等：
（3）两边夹:
（4）三边比:_____________________________________
2、判定两个三角形相似的一般步骤：
（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角
(2）若只能找到一对对应角相等,则再找到一对对应角相等，或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否
3、等积式的证明思路
遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替;平行线转比例，两端各自拉关系.
二、基础练习
1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4,则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．4：3
B．3：4
C．16：9
D．9：16
2．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（　　）
A．10cm2
B．14cm2
C．16cm2
D．18cm2
3．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点,且AD=2,E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（　　）
A．2
B．
C．3或
D．3或
4．(2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm,5cm,6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边,将另一根截成两段（允许有余料,接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（　　）
A．10cm,25cm，30cm
B．10cm，30cm,36cm或10cm，12cm，30cm
C．10cm，30cm，36cm
D．10cm，25cm,30cm或12cm，30cm，36cm
5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是 ．

6．如图，D、E分别是AC，AB上的点,∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F。若AD＝3，AB＝5，求:
(1）;
（2）△ADE与△ABC的周长之比;

三、 重难点高效突破
专题一：计算线段的长度或线段之间的比
在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算;3、综合运用进行计算。
典型例题1、（2012•铁岭）已知：在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段AE的长．

变式训练:
1、（2012•株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
(1）求证：△COM∽△CBA;     
（2）求线段OM的长度．

2、（2012•长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
(1）求证：DG=DF；
(2）求证：△BDG∽△DEG；
（3）若EG•BG=4，求BE的长．

典型例题2（2013•巴中）如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B
（1)求证：△ADF∽△DEC;
(2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的长．

变式训练:1、（2009•甘孜州）已知如图，▱ABCD中,∠DBC=45°，DE⊥BC于E,BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．
（1)求证:AB=BH；
（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．

2、(2013•南充)如图，等腰梯形ABCD中,AD∥BC，AD=3,BC=7，∠B=60°,P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1)求证：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3,求BP的长．

专题二：等积式、等比式的证明
对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。
处理这类问题的口诀是：遇等积,化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气,等线等比来代替。

等积问题证明第一步：化等比，定相似
遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式,然后考虑证明两个三角形相似。
例1、（2011•闸北区一模）如图,△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：

变式练习：（1997•吉林)已知:如图，△ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2=PE•PF．

等积证明第二步:不相似，莫生气，等线等比来代替。
若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明，此时可通过查找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。
A
B
C
E
D
F
例2：如图， ABCD中，E为边AD延长线上的一点，BE交CD于F。
试说明：CD·BC=AE·FC的理由。

D
A
B
P
C
N
M
例3、如图，P是 ABCD的边DC的延长线上的一点，连接AP交DB、BC于M、N，求证:AM2=MN·NP

变式练习：
1、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EA⊥AF交CD延长线于点E，连接EF交AD于G。(1）求证:△ABF≌△ADE
（2)求证：BF·FC=DG·EC

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°边AC的垂直平分线EF交AC于点E,交AB于点F，BG⊥AB交EF于的G.求证：CF是EF与FG的比例中项.

3、 如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,M是CD上的点, DH⊥BM于H，DH、AC的延长线交于E.
求证:（1）△AED∽△CBM； （2)AE·CM=AC·CD

4、(2012•徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上,BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：(1)△BAE∽△BOA；  （2）BO•BE=BC•AE．

综合提高
1、(2011•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E,并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．
（1)求证:四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE2=BE•CE，求证：四边形ABFC是矩形．

2、(2012•天水）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O,分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形;
(2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P,求证：2AE2=AC•AP；
（3）若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长．

N
A
B
E
C
D
M
3、梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点,直线DE分别与对角线AC,直线BC相交于M和N
求证： MD·NE=ME·ND

专题三：相似三角形中的面积问题
学习目标：结合相似三角形的性质及三角形的面积公式，解决相似三角形的面积问题
一、求三角形面积常用方法

1、面积公式
2、等高或等底法 3、相似三角形：
S1
S2

二、例题及变式练习
例1：
如图,DE∥BC, ，则△ADE与△ABC的相似比是 __________,面积之比是_______。

例2、已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：2，则CD:AB= ， S△COB:S△COD= ．

例3、如图，将面积为a2的正方形与面积为b2的正方形（b＞a）放在一起，则△ABC的面积是 ．

例4、（2011广西北海）如图，△ABC的面积为63，D是BC上的一点，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC交AB于点E，延长DE到F，使FE∶ED＝2∶1，则△CDF的面积为 ．

变式一：
如图， D、E、F是△ABC的各边的中点，设△ABC的面积为S，求△DEF的面积.

变式二：
（1）如图，DE∥FG∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3， 求S1：S2:S3 。
（2）如图,DE∥FG∥BC， 设△ABC 被分成的三部分的面积 分别为 S1,S2,S3,且S1=S2=S3， 求 AD：DF：FB

变式三 ：如图，DE∥BC ,DF∥AC, S△ABC =a ， 则四边形DFCE的面积为______________。

变式四: 如图,平行四边形ABCD中，AE:EB=2：3， 则S△APE ：S△CPD=_________。

变式五:如图,平行四边形ABCD中，BE:AB=2：3, 且 S△BPE =4， 求平行四边形ABCD的面积。

变式六：如图，AC是平行四边形 ABCD的对角线,且AE=EF=FC， 求S△DMN: S △ACD

变式七：如图, △ ABC中,AD∥BC,联结CD交AB于点E,且,且 AE:EB=1：3，过点E作EF ∥BC，交AC于点F，

变式八：如图,点D和E分别在△ABC 的边AB、AC上，若S△ADE=4 ,S△BCE=24，求 S△BDE

变式九:如图,点D是△ABC边 BC延长线上一点，过点C作CE∥AB，作DE∥AC，联结AE，S△ABC=9 ,S△CDE=4, 求S△ACE

本次课作业： 家长签字：
1、 预习：
2、 写： 教学主管签字: