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解析几何复习要求及方法概述
（常熟市中学 黄启钟）
解析几何是高中数学的重要内容，也是高考对数学考察的一个重要方面。近几年高考数学试题中，解析几何所占的比重一般在20%左右，题型一般是选择题2~3道，填空题一道，解答题一道，选择填空主要考察学生的基础知识理解后掌握情况，解答题主要考察学生的灵活运用和综合能力。通常以圆锥曲线为主要内容的综合问题，难度较大。涉及的数学方法、数学知识较广泛，在复习中既要重视基本概念、概念的梳理，又要注意在学生综合能力的培养和提高上下工夫。对涉及的具体问题，既在注意解几中共性的同时，又要充分揭露个性，根据题目的具体环境采用合理、优化的方法解决。
在现行的教材中，解析几何分两章内容。
一、直线和圆的方程
本章的应试策略是：首先注重基础，基本知识、基本题型要掌握好，对基本知识的整理不能有疏漏，与斜率有关的问题要主要引导学生讨论。直线与圆的位置关系的处理要让学生熟练地运用平面几何知识加以解决。直线方程的各种形式要熟知它们所运用的背景。
二、圆锥曲线方程
对这一部分内容的复习应注意以下几个方面。
1．注重“三基”训练，锤炼知识素养，圆锥曲线定义及基本性质是本章的基本内容，要善于多角度多层次思考问题，不断巩固强化“三基”，努力促进知识的深化、升华。
2．突出主体内容，准确把握尺度。以高考试题为标准，紧紧围绕解析几何的两大任务来复习。根据已知条件，求出平面曲线方程是重点，待定系数法，参数法是其重要方法。从高考试题来看，要高出课本的要求，通过方程，研究圆锥曲线的性质，往往结合直线来体现，这也是解析几何的终极任务，这一点在复习中，应当引起重视。
3．着力抓好“运算关”，增强学生的抽象运算与变形能力，解析几何问题的解决思路容易分析出来，往往由于运算不过关半途而废。教学中，可精选一定数量的问题，让学生寻求合理运算方案，以及简化运算的基本途径及方法，亲自经历运算困难的发生与克服困难的完整过程，增强解决复杂问题的信心。
4.重点解决以下几个问题：
（1） 要充分重视圆锥曲线的定义在解题中的地位和作用。
（2） 在直线与圆锥曲线的问题中，要充分重视韦达定理和判别式的运用。
（3） 要充分重视平面几何知识在解题中的化简功能。
（4） 要重视解析几何与方程、函数、不等式、三角函数及平面向量的有机联系。
下面谈谈学生的常见问题及处理方法：
例1已知一条直线被两条平行直线 和 所截得的线段长为 ，且过点，求直线的方程。
错解：设所求直线的斜率为，由于两平行线的距离为3，而直线被、所截得线段为，所以和的夹角，满足，，
由夹角公式得：，从而，得所求直线方程：，即：
本题这样求解，是学生错误地认为所求直线已有一点已知，欲求方程，只要运用点斜式，故而由此推想，只要求斜率，忽视了直线斜率不存在的情况。题不难，但极易误解。

解决的方法 （1）加强对这类问题的研究和讨论。通过对类似问题的比较来加深对这类问题的理解。还可以举例：两条直线，垂直的充要条件是：
（2） 学会借助图形直观来分析问题。解几是代数方法解决几何问题的方法，那么也可借助图形。让学生领悟到本题满足条件的直线的条数应是两条，从而反过来探讨失解的原因。如此，可以强化对问题的理解。
例2．从圆外一点向圆引切线，切点为，为坐标原点，且有，求使最小的点坐标。
学生在处理这种最值问题时，极易想到采用函数方法。把表示成变元的函数，再去求解。但马上发现，这样处理出现的变元太多。（还有一个点坐标未定），因而解题受阻。
本题应首先研究制约条件对点运动所起的影响。也就是先研究动点的运动规律（解几中称为轨迹）入手。这样变成先考虑求点的轨迹方程。易得，从而把问题转化为最小。即到直线的距离为，此时。
例3．过椭圆左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率是 （　　　　）　
解本题出现的错误，一是受焦半径公式的惯性影响，去考虑设直线的方程。从而去求、点的坐标。因为计算复杂，导致错解。二是对离心率，焦半径曲线上点到准线的距离。这三点间内在联系缺乏理解。
正解。设＝，　，由得，而，两式相减得，故。
本题的解法是运用第二定义和平几知识进行求解。由于在复习中只注重焦半径公式的结论的应用。弱化了公式的形式及推理过程，从而造成学生在学习上的僵化。因此，在复习中仍要注意一些衍生出的公式的形成教学，切忌死记硬背，生搬硬套。

例4．已知双曲线的右准线为，右焦点，离心率，求双曲线方程。
错解1.由题意得 ，所求双曲线方程
2．由得，，，，所求双曲线方程
正解：设是双曲线上任一点，由第二定义得，化简整理得，所求双曲线方程：
由于学生把题中双曲线错误认为中心在原点，因此造成解题错误。

例5.已知曲线，过点作直线：使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（ ）
A.3条 B.4条 C.1条 D.2条
很多同学不考虑点位置，认为有两条切线和过作平行于渐近线的直线鼓错选B。还有同学只考虑切线条数，选C.
正解，因双曲线渐近线为，点P在渐近线上，满足要求的直线只有两条，即选D.
例6.已知双曲线的一支和直线，若与有两个交点和，求线段中点的轨迹方程。
错解：由和联立得
设，中点，则
消后得，
很多同学把这认为就是所求的方程。不注意隐含条件即有没有交点，此方程有没有根，有怎样的根，从而导致错解。
正解，易得隐含条件，加上
，，曲线方程为（
例7.椭圆，双曲线的两渐近线为， ，过椭圆焦点作直线，使直线，又与交于点，设与椭圆两交点由上至下依次为。
（1）求与夹角为时，双曲线的焦距为4时，求椭圆的方程及离心率。
（2）求最大值。
对问题1）学生一般能正确解出。易得椭圆，离心率
问题（2）学生会觉得很困难，不知如何入手，对的处理不会转化。
正确求解的关键是（1）研究清楚点的特殊性 （2）把表示成某一变元函数
解：，，由此得， 点在右准线上
设点到右准线距离为，则 为的倾斜角）
由，整理得
（当且仅当时取等号）

为了克服上述种种错误，多从这些方面做好复习工作。
1．复习中，要帮助学生理清知识脉络，掌握基础知识
2．学生易错的知识点，知识内容，要从多个角度，设置不同问题加以巩固联系，使学生全方位，深层次认识知识内涵。
3．象前面提到的，在加强通性、通法的同时，对解几问题也要研究多个问题的个性，便于选择优法，这也是能力的提高。
4．注意学科渗透，有目的地拓展学生知识视野。
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