1、函数的基本性质
函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性
一、单调性
1、定义：对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。）
3．二次函数的单调性：对函数，
当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；
当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小；
例1：讨论函数在(-2,2)内的单调性。
4．证明方法和步骤：
⑴设元：设是给定区间上任意两个值，且；
⑵作差：；
2、
⑶变形：（如因式分解、配方等）；
⑷定号：即；
⑸根据定义下结论。
例2、判断函数在上的单调性并加以证明.
5．复合函数的单调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表：
增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
例3：函数的单调减区间是 （ ）
A. B. C. D.
6．函数的单调性的应用：
判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
例4：求函数在区间上的最大值和
3、最小值.
二、奇偶性
1．定义：
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫偶函数；
（等价于：）
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫奇函数。
（等价于：）
注意：当时，也可用来判断。
2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。
若函数为奇函数，且在x=0处有定义，则；
3．判断一个函数的奇偶性的步骤
⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断或 是否恒成立。
4．奇偶函数图象的性质
奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数
4、
偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。
5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。
(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。
例4：判断函数 的奇偶性。
分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性
针对性练习：
1、判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
⑸、 ⑹、
2、判断函数的奇偶性。
3、已知且，那么
5、 （利用奇偶性求函数值）
4、已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。（利用奇偶性比较大小）
5、已知为偶函数，求的解析式？（利用奇偶性求解析式）
6、若是偶函数，讨论函数的单调区间？（利用奇偶性讨论函数的单调性）
7、已知函数是偶函数，判断的奇偶性。（利用奇偶性判断函数的奇偶性）
8、定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？（利用奇偶性求参数的值）
9、（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式x的解是 . （利用图像解题）
10、已知函
6、数，若为奇函数，则________。（利用定义解题）
函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称
定理1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论2：函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.
◆函数的周期性
定理2：函数对于定义域中的任意,都有，则是以为周期的周期函数；
推论1：函数对于定义域中的任意,都有，则是以（a－b）为周期的周期函数；
推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数：
1、；2、 ；3、；4、；
5、；6、．
◆函数的点对称
定理3：函数满足，则函数的图象关于点对称.
推论1：函数满足，则函数的图象关
7、于点对称.
推论2：函数满足，则函数的图象关于原点对称.
（总结：同号看周期，异号看对称）
针对性练习：
1、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。
2、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。
3、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于______对称,图象关于__________对称。
4、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )
A. B.
C. D.
6、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 （ ）
A. B.
C. D.
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